【发布时间】：2021-04-21 03:42:05
【问题描述】：
我正在尝试在 4 维空间中实现一个 voronoi 采样器，这应该是一个非常简单的任务，但是选择一个好的起点分布，由于缺乏均匀性，有时会产生一些非常倾斜的 voronoi 单元分布（我接受有关如何生成均匀随机点散射的建议）。
于是我开始研究生成质心voronoi细胞的案例，偶然发现了题目上的问题。我首先假设可以从五个表面点中定义一个 4D 超球面。
我什至得到了一些代码来从 3D 空间中的 三个 点生成一个 3D 球体中心点（在这种情况下，这些点总是在球体的赤道上），我分享了here。我还设法从 四个 表面点中找到了将球体中心作为三维空间中心的代码，但是由于大量矩阵行列式计算，它变得非常大，我承认这有点粉碎了我的希望自己将其扩展到 4D。
我在https://math.stackexchange.com 中找到了很多演示，但这不是我可以轻易转换成代码的东西。
更新更新更新！！！
大家好，我终于有周末了，所以我可以拍一些照片。
首先，我看到了以下 C# (Unity3D) 代码，我可以直观地确认它正在创造奇迹。当所有点共面时，它显然会失败，但这是意料之中的。
static public Vector3 TetrahedronCircumcenter3D(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c, Vector3 d)
{
Vector3 ba = b - a; //all points from an 'a' point of view
Vector3 ca = c - a;
Vector3 da = d - a;
Vector3 crosscd = Vector3.Cross(ca, da); //perpendicular vectors to those above
Vector3 crossdb = Vector3.Cross(da, ba);
Vector3 crossbc = Vector3.Cross(ba, ca);
return a + (
(
ba.sqrMagnitude * crosscd +
ca.sqrMagnitude * crossdb +
da.sqrMagnitude * crossbc
) *
(0.5f / (ba.x * crosscd.x + ba.y * crosscd.y + ba.z * crosscd.z)) // half point
);
}
正如我所说，它在视觉上有效。
我从一个不幸丢失的链接中得到这个，该链接解释了如何从垂直线的交叉点计算单纯形的外心。这两个词很重要，因为这就是我一直在寻找的：“单纯外心”。单纯形是在 R^n 中可以得到的最简单的形状：在 R^2 中是三角形，在 R^3 中是四面体，在 R^4 中是五面体等等。
然后我决定尝试将其扩展为简单地将其扩展到 4D。我首先偶然发现了一个问题，除了 3-D 和（奇怪的）7-D 之外，不能指望两个向量之间存在垂直叉积，我以为我已经完成了。但是一句话给出了下一个线索（这很明显，在有人说之后：你可以从 4-D 中 3 个向量之间的叉积中得到一个垂直的 4-D 向量。搜索公式，我什至发现了一些东西更好：code！
扩展该代码以使用 Vector4 是微不足道的。
扩展代码如下所示：
static public Vector4 PentatopeCircumcenter4D(Vector4 a, Vector4 b, Vector4 c, Vector4 d, Vector4 e)
{
Vector4 ba = b - a; //all points from an 'a' point of view
Vector4 ca = c - a;
Vector4 da = d - a;
Vector4 ea = e - a;
Vector4 crosscde = CrossProduct(ca, da, ea); //perpendicular vectors
Vector4 crossdeb = CrossProduct(da, ea, ba);
Vector4 crossebc = CrossProduct(ea, ba, ca);
Vector4 crossbcd = CrossProduct(ba, ca, da);
return a +
(
(
crosscde * ba.sqrMagnitude +
crossdeb * ca.sqrMagnitude +
crossebc * da.sqrMagnitude +
crossbcd * ea.sqrMagnitude
) *
(0.5f / (ba.x * crosscde.x + ba.y * crosscde.y + ba.z * crosscde.z + ba.w * crosscde.w))
);
}
这引出了下一个问题：如何确认这是有效的？
编辑：这里解释了基本原理：https://ctools.ece.utah.edu/Triangulation/TriangulationSphereCntr.pdf
编辑：它不适用于 4D。从点 a、b、c、d 和 e 到计算中心的距离不一样。 a, b, d 是一致的。点 c 和 e 显示不同的距离。
编辑：在运行时手头没有线性代数求解器，也无法减少其他来源中指定的系统，我不得不走矩阵的道路。代码有点广泛，但没有什么可怕的。路上有一些 5x5 矩阵行列式，但我通过检查所有点与给定中心之间的距离来让它工作，现在看起来很完美。但是，上述暂定解决方案不起作用。
【问题讨论】：