rank 和 unrank 结合约束

Question

我想使用元素距离约束对组合进行排名和取消排名。所选元素不能重复。

例如：

n := 10元素可供选择

k := 5 正在选择的元素

d := 3 2 个选定元素之间的最大距离

1,3,5,8,9 匹配约束

1,5,6,7,8 不匹配约束

如何对具有给定距离约束的组合进行排名，其中 1,2,3,4,5 小于 1,2,3,4,6 ？有没有办法在不计算排名较小的组合的情况下进行排名？

Answer 1

您可以通过首先创建和填充一个二维数组来做到这一点，我将把它称为 NVT 来表示“有效尾部的数量”，以记录开始于的有效“尾部”的数量具有给定值的特定位置。例如，NVT[4][6] = 3，因为在第 4 位有 6 的组合可以以 3 种不同的方式结束：(…, 6, 7), (…, 6, 8) 和 (..., 6, 9)。

• 要填充 NVT，请从 NVT[k][…] 开始，这只是一行全 1。然后回到之前的位置；例如，NVT[2][5] = NVT[3][6] + NVT[3][7] + NVT[3][8]，因为从位置 #3 开始且值为 5 的“尾部”将由该 5 加上从位置 #4 开始且值为 6、7 或 8 的“尾部”组成。
• 请注意，我们并不关心是否存在真正的有效方法来到达给定的尾部。例如，NVT[4][1] = 3 因为有效的尾部 (1, 2)、(1, 3) 和 (1, 4)，即使没有 完成形式的组合（…、1、_）。

完成此操作后，您可以计算组合 C 的排名，如下所示：

• 对于位置 #1，从位置 #1 开始计算所有有效尾部，其值小于 C[1]。例如，如果 C 以 3 开头，那么这将是 NVT[1][1] + NVT[1][2]，表示以 1 或 2 开头的所有组合。
• 然后对所有后续位置执行相同操作。这些将表示以与 C 相同的方式开始直到给定位置的组合，但在该位置具有较小的值。
• 例如，如果 C 为 (1, 3, 5, 8, 9)，则结果为
  0 +
  (NVT[2][1] + NVT[2][2]) +
  (NVT[3][1] + NVT[3][2] + NVT[3][3] + NVT [3][4]) +
  (NVT[4][1] + NVT[4][2] + NVT[4][3] + NVT [4][4] + NVT[4][5] + NVT[4][6] + NVT[ 4][7]) + (NVT[5][1] + NVT[5][2] + NVT[5][3] + NVT [5][4] + NVT[5][5] + NVT[5][6] + NVT[ 5][7] + NVT[5][8]）。

相反，您可以找到具有给定等级 r 的组合 C，如下所示：

• 为“剩余排名”创建一个临时变量rr，最初等于r。
• 要找到 C[1] — 位置 #1 中的值 — 从位置 #1 开始计算有效尾部，从可能的最小值（即 1）开始，一旦超过就停止rr。例如，由于 NVT[1][1] = 66 和 NVT[1][2] = 27，因此排名为 75 的组合必须以 2 开头（因为 75 ≥ 66 和 75 rr 中减去这个总和（在这种情况下留下 75 - 66 = 9）。
• 然后对所有后续位置执行相同操作，确保牢记考虑到前一个位置的最小可能值。以 r = 75、C[1] = 2 和 rr = 9 继续我们的示例，我们知道 C em>[2] ≥ 3；由于 NVT[2][3] = 23 > rr，我们立即发现 C[2] = 3。

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复杂性分析：

• 空间：
  • NVT 需要 O(nk) 个空间。
  • 将组合返回为长度-k 数组本身需要 O(k) 个空间；但是如果我们一次返回一个值（通过调用回调或打印到控制台或其他方式），那么计算本身实际上并不依赖于这个数组，只需要 O( 1) 额外空间。
  • 除此之外，其他一切都可以在O(1) 空间中进行管理；我们不需要任何递归或临时数组或任何东西。
• 时间：
  • 填充 NVT 需要 O(nkd) 时间。 （注意：如果d大于n，那么我们可以设置d等于n。）
  • 给定 NVT，计算给定组合的排名需要最坏情况 O(nk) 时间。
  • 给定 NVT，计算具有给定等级的组合需要最坏情况 O(nk) 时间。

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实现说明：上面的细节有点繁琐；如果您没有具体的数据可以查看，那么很容易出现一个错误，或者混淆两个变量，或者诸如此类。由于您的示例只有 168 个有效组合，因此我建议您生成所有这些组合，以便您在调试时引用它们。

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可能的额外优化：如果您希望 n 非常大，并且您希望对“排名”和“未排名”组合进行大量查询，那么您可能会发现创建第二个数组，我将调用 NVTLT 表示“小于的有效尾部数”，以记录从某个位置开始且值 小于 给定值。例如，NVTLT[3][5] = NVT[3][1] + NVT[3][2] + NVT[3][3] + NVT[3][4]，或者如果您愿意，NVTLT[3][5] = NVTLT[3][4] + NVT[3][4]。 （您可以将其作为就地转换来完成，完全覆盖 NVT，因此它是一个 O(nk) 传递，没有额外的空间。 ( k 记录 n) 时间而不是 O(nk) 时间。请注意，此优化比上述更棘手，因此即使您打算执行此优化，我建议从上述开始，使其完美运行，然后才添加此优化。