数组中第 K 个最小的元素

Question

给定一个大小为 n 的数组，给出一个使用 O(1) 空间（不是中位数的中位数）的确定性算法（不是快速排序），它将找到第 K 个最小的项目。

有一些显而易见的解决方案，例如在 nlogn 上对数组进行排序或在 nk 中找到最小 k 时间，但我确信有更好的方法来做到这一点。它不一定是班轮（我怀疑它是否可以）。

感谢帮助。

Answer 1

排列（以免浪费额外空间）将数组放入min-heap (can be built in O(n) time)，然后执行k extract-min 操作，每个操作都采用O(log n)时间。所以你有O(n + k*log n) 的时间。 （因为k <= n 最坏的情况是O(n log n)。）

空间复杂度为O(1)，或者，如果算上我们修改过的数组，则为O(n)；但任何算法都需要数组，因此需要数组贡献的O(n) 空间。堆产生的额外空间成本为O(1)。

很明显，这种方法是正确的：第一个 extract-min 返回（并从堆中删除）最小的元素；第二个 extract-min 返回（并从堆中删除）第二小的元素； ...; k-th extract-min 返回（并从堆中删除）k-th 最小元素。

如果k 比n/2“大得多”，那么您可以使用max-heap 加快处理速度，并使用类似方法搜索(n-k)-th 最大元素。

Answer 2

我发现 BitVector 是解决此问题的另一种方法。

填充 BitVector 需要 O(n) 时间，找到第 k 个最小的元素大约需要 O(k) 时间。因此，总复杂度将是 O(n)。

空间复杂度可能因每种情况而异。在我的场景中，列表可以包含一组未排序的正整数，从 1 到 2147483647 (java.lang.Integer.MAX_VALUE) (2147483647/32 * 4 / 1024 / 1024 =~ 255 MB)。

这是我在 Java 中的实现：

int findKthSmallestInUnsortedList(List<Integer> list, int k) {
    // Step 1: Populate (read) data from list to the bit-vector in O(n) time
    int[] bitVector = new int[Integer.MAX_VALUE/32]; //4 bytes chunks (int): 32 bits
    for(Integer num : list) {
        int chunkNum = num / 32;
        int indexInChunk = num % 32;
        bitVector[chunkNum] |= (1 << indexInChunk);
    }

    // Step 2: Find the k'th '1' starting from the first chunk in O(k) time
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < bitVector.length; i++) {
        int bitCount = 0;
        while(bitVector[i] != 0) {
            if ((bitVector[i] & 1) != 0) {
                count++;
            }
            if (count == k) {
                return i * 32 + bitCount;
            }
            bitCount++;
            bitVector[i] >>= 1;
        }
    }
    return -1; // not found
}

对于不熟悉BitVector的朋友，这里举个例子：

想象数字 4 在列表中。因此我们将 first 块中的 4th 位设置为 1：

00000000 00000000 00000000 00001000

如果读取到33，按照上面的实现，我们去second块，将first位设置为1，以此类推。

最后，我们从 BitVector 的开头开始计数 k '1'。当找到第 k 个 1 时，我们将那个 1 的块号乘以 32，并添加这个 1 在那个块中的位置（i * 32 + bitCount）。

Answer 3

使用二分搜索的第 K 个最小元素 :)

bool c(int a[],int l,int r,int v,int k)
{
    int cnt=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        
        if(a[i]<=v )
        {
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt>=k)
    {
        return true;
    }
    return false;
}
int kthSmallest(int a[], int l1, int r1, int k)
{
    int l=a[l1],r=a[l1];
    for(int i=l1+1;i<r1;i++)
    {
        l=min(l,a[i]);
        r=max(r,a[i]);
    }
    int res=0;
 
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+(r-l)/2;
        if(c(a,l1,r1,mid,k))
        {
            res=mid;
            r=mid-1;
        }else
        {
            l=mid+1;
        }
    }
    return res;
}