计算彩票奖金

Question

我正在运行一个基本的彩票模拟。在 1:50 之间随机选择 6 个号码 - 两次：(i) 彩票结果 (ii) 购买的彩票。每张门票2美元。一个人每天玩彩票，持续了 25 年（365*25）。将票与彩票进行比较。数字的顺序无关紧要。我重复这个长达 25 年的过程，50 次，独立重复 3 次。换言之，25 年来，每天有 50 人在玩彩票。而且我想收集3次数据。

gross_won<-matrix(NA,nrow=3,ncol=50); 
mean_prize<-matrix(NA,nrow=3,ncol=50); 
net_won<-matrix(NA,nrow=3,ncol=50)
for (k in 1:3) { 
  m<-vector()
  for (x in 1:50) { 
    for (i in 1:(365*25)) {
      res<-sample(1:50,6,replace=FALSE) 
      ticket<-sample(1:50,6,replace=FALSE) 
      m[i]<-length(intersect(res,ticket)) 
    }
  winnings<-c(0,0,0,50,200,150000,2000000,m)[match(m, c(0,1,2,3,4,5,6,m))] #Convert no. matches to money won
  gross_won[k,x]<-sum(winnings)
  mean_prize[k,x]<-mean(winnings) 
  net_won[k,x]<-gross_won[k,x]-(2*(365*25)) #Adjust for $2 ticket cost
  }
}
rowMeans(gross_won)
rowMeans(net_won)
rowMeans(mean_prize)

0,1,2,3,4,5,6 场比赛赢得的金额为：0,0,0,50,200,150000,2000000。

现在，当我运行此程序时 - 25 年的单组往往会产生大约 -9000 美元的净收益。但是，如果我以更高级别的迭代运行它，我往往会赚钱。这可能正确也可能不正确。我知道通过足够的迭代，将看到低概率事件（即赢得 150k 或 2m），但我想问一下我是否在代码中犯了任何明显的错误，可能会产生意想不到的问题。

Answer 1

您的代码似乎比它需要的复杂得多。此函数模拟单张彩票的赢或输金额：

lottery <- function()
{
  c(0, 0, 0, 50, 200, 15e4, 2e6)[sum(sample(50, 6) %in% sample(50, 6)) + 1] - 2
}

这个函数会根据你的喜好汇总任意数量的彩票结果：

multi_lottery <- function(times) sum(replicate(times, lottery()))

所以我们可以这样做 25 年：

set.seed(69)
multi_lottery(25 * 365)
#> [1] -8950

这给了我们一个相当典型的结果。

但是，假设我们有 100 个人每天抽奖 25 年：

many_people <- replicate(100, multi_lottery(25 * 365))
many_people
#>   [1]  -6400  -9900 -10100 142050 -10400 142600  -9300  -9600  -8100
#>  [10]  -9000 141500  -9300  -9100  -9500  -7400  -9000  -9950  -9350
#>  [19]  -9000  -9800  -7700  -8900  -7650  -7800 141200 -10500  -9700
#>  [28]  -9000  -8650  -8750 141550  -9500 139550  -7650  -9350  -8800
#>  [37]  -9750  -9150  -8600  -8550  -8150  -9650 142350  -7850  -9000
#>  [46]  -9400 139700  -8850 139750 -10250  -8500 -10250  -9300  -9600
#>  [55]  -9750  -7900  -8600  -9550  -9700  -9650  -9450  -8600  -9800
#>  [64]  -8800 -10050  -9150  -8450  -9050  -9250  -8900  -9000  -9500
#>  [73]  -9200  -9100  -8650  -9400  -8600  -9600  -7800  -6650  -8750
#>  [82]  -9800 -10100 -10850 140200  -9000  -8450  -9700  -9100  -9450
#>  [91]  -8100  -8550  -9050  -8100  -8450  -8250  -8850  -7850 -10100
#> [100]  -9250

大多数人都是失败者——财富变化的中位数确实是 -9000，所以大部分时间你运行模拟你会得到这个值。

median(many_people)
#> [1] -9000

但平均会因偶尔的大赢而大幅增加：

mean(many_people)
#> [1] 5985.5

所以在 25 年和每天有 100 人玩之后，最终结果是运行彩票的人净损失了 598,550 美元：

sum(many_people)
#> [1] 598550

这当然分布在 100 * 25 * 365 张彩票上，所以平均而言，彩票会输

sum(many_people)/(100 * 25 * 365)
#> [1] 0.6559452

从长远来看，每张票大约 65 美分。

顺便说一句，这仍然不足以说明非常偶然的大胜利。为此，我们可以计算出数学期望，因此如果您无限次地运行彩票，这就是每张彩票的净变化。首先我们计算出每张彩票匹配 0 到 6 个球的概率：

p_0 <- (choose(6, 0) * choose(44, 6))/choose(50, 6)
p_1 <- (choose(6, 1) * choose(44, 5))/choose(50, 6)
p_2 <- (choose(6, 2) * choose(44, 4))/choose(50, 6)
p_3 <- (choose(6, 3) * choose(44, 3))/choose(50, 6)
p_4 <- (choose(6, 4) * choose(44, 2))/choose(50, 6)
p_5 <- (choose(6, 5) * choose(44, 1))/choose(50, 6)
p_6 <- (choose(6, 6) * choose(44, 0))/choose(50, 6)

如果我们的数学就在这里，概率总和应该为 1：

p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6
#> [1] 1

现在我们将支出（减去固定票价）乘以概率。总和给了我们答案：

outcomes <- c(0, 0, 0, 50, 200, 15e4, 2e6) - 2
sum(outcomes * c(p_0, p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6))
#> [1] 1.629922

实际上，从长远来看，非常，每售出一张彩票将损失 1.62 美元。