这个 5 行 Java 算法的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the time complexity of this 5-line Java algorithm?这个 5 行 Java 算法的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2018-10-09 11:06:41
【问题描述】：

这是对以下problem的解决方案

基本上，您有一个由“-”和“+”字符组成的字符串：

++-++++

您将两个连续的“+”翻转为“-”，然后您的朋友也这样做，然后再返回给您，依此类推。一旦有人无法移动，他们就输了。

所以对于上面的游戏，如果你先走，你可以通过翻转最后两个“+”或中间两个“+”来获胜（想想看）。

这是一个算法，可以解决先行者是否获胜：

public boolean canWin(String s) {
    for (int i = 0; i < s.length() - 1; ++i)
        if (s.charAt(i) == '+' && s.charAt(i + 1) == '+' && 
            !canWin(s.substring(0, i) + "--" + s.substring(i + 2)))
                return true;
    return false;
}

基本上，该算法递归地表示“如果他能将棋盘缩小到先行者输的状态，则先行者获胜”。

这是我对时间复杂度的看法：

设 N 为棋盘上的字符数。

在最坏的情况下，有 N-1 步（如果都是“+”）。每一步都使棋盘（在最坏的情况下）只小 2 步。

但后来我卡住了。我知道它比 N * (N-2) * (N-4) * ... * 1 差，但我无法制定它。

【问题讨论】：

你的系列 N..1 被调用了 N 次，所以我想是 N^2。
比那更糟糕（想想斐波那契）

标签： java algorithm recursion time-complexity big-o

【解决方案1】：

在最坏的情况下，第一个玩家无法获胜，循环将遍历所有迭代。将问题大小 n 设为输入字符串中的加号数，我们的运行时间为 T(n)=(n-1)T(n-2)=(n-1)(n-3) T(n-4)=...=O(n!!)。在这里，n！是双阶乘。这比指数要差得多，指数对于这个问题来说是相当可怕的。您可以使用如下动态编程来改善这个界限：

Set<String, Boolean> canWinMap = new HashMap<>();

public boolean canWin(String s) {
    if (canWinMap.hasKey(s)) {
        return canWinMap.get(s);
    }
    for (int i = 0; i < s.length() - 1; ++i)
        if (s.charAt(i) == '+' && s.charAt(i + 1) == '+' && 
            !canWin(s.substring(0, i) + "--" + s.substring(i + 2)))
                canWinMap.put(s, true);
                return true;
    canWinMap.put(s, false);
    return false;
}

那么最坏的情况是由一个指数（可能乘以一个线性项）为界的，因为只有 O(2^n) 个可能的字符串来自包含“+”和“-”的起始字符串。在此之后，所有递归调用都是恒定时间（摊销）。

【讨论】：