给定一个置换函数，求得到原始输入所需的重复次数

Question

输入：一个字符数组和一个置换函数 P。函数 P 以某种确定性的方式对输入进行混洗。例如，如果 P 是（向右推）

1234 -> P -> 4123 -> P -> 3412 -> P -> 2341 -> 1234

在上面的例子中，对一个输入应用 P 四次 次会给你一个输入。 P可以是恒等映射，即require重复为1

1234 -> P -> 1234

P 可以看作是某种映射函数，它最终会打乱输入，P 的输出需要是原始输入的一个排列。 P 可能很复杂，比如交换赔率和偶数；接下来，交换第一个和最后一个，依此类推。

你的工作就是写一个函数，比如说，

public static char[] P(char[] arr) {...} # the content is unknown
public static int getNumRequired(char[] arr) {
  // your code here
}

显然，有一个蛮力解决方案 - 通过创建一个 while 循环，我们计算循环数，然后在满足条件时中断循环。这里的问题是：“我们能比蛮力做得更好吗？”

有人告诉我，有一种有效的方法（或更好的方法）来计算需要重复的次数以获得原始输入。

Answer 1

基本思想：考虑排列列表中每个数字的移动。它将形成一个具有特定长度的循环。每个数字形成的循环可以是0 - (n-1)范围内不同长度的循环。然后当所有循环相遇时，整个排列将重复，这将与循环长度的 LCM（最小公倍数）相同。

以算法的方式：

1. 对于每个数字，找出您得到相同数字之前的排列数。在给定的示例中，对于1，它是：1->4->3->2->1，所以排列的数量是4。

2. 获取上述所有排列的 LCM（最小公倍数）。这将是您寻找的数字。

在上面的例子中：

1->4->3->2->1 ==> 4
2->1->4->3->2 ==> 4
3->2->1->4->3 ==> 4
4->3->2->1->4 ==> 4
and
LCM(4, 4, 4, 4) = 4

蛮力可能需要高达O(n!) 的复杂性。上面每个数字最多会有O(n)，因此整体复杂度是O(n^2) + <complexity of getting LCM>。

注意：我认为获得两个数字的 LCM 的复杂性与获得两个数字的 GCD 相同。一旦我弄清楚计算，我会更新结果。

计算 N 个数的 LCM 的复杂性： 例如，我们有 4 个数字 a、b、c、d：

LCM(a, b, c, d) = a*b*c*d / GCD(abc, abd, acd, bcd)

和

GCD (abc, abd, acd, bcd) = GCD(abc, GCD(abd, GCD(acd, bcd)))

还可以在O(log(x) + log(y)) 时间计算GCD(x,y)。

在最坏的情况下，我们需要计算LCM(1, 2, ..., n-1, n)。这将导致计算GCD(n!/1, GCD(n!/2, GCD(n!/3, ..., GCD(n!/(n-1), n!/n))))。这将具有O(log(n!/1), log(n!/2) + ... + log(n!/n)) 的复杂度，与O((n-1) * log(n!)) 或O(n^2 * log(n)) 相同

因此上述方法的总体时间复杂度为O(n^2 * log(n))。