XOR 编程难题建议

Question

给定一个long int x，统计满足以下条件的a值的个数：

a XOR x > x
0 ax

其中 a 和 x 是长整数，XOR 是按位异或运算符

你将如何解决这个问题？

我还应该提到，输入 x 可以大到 10^10

我已经设法通过迭代 0 到 x 检查条件并增加计数值来获得蛮力解决方案..但这不是最佳解决方案...

这是我尝试过的蛮力。它可以工作，但对于较大的 x 值非常慢。

 for(int i =0; i < x; i++)
 {
      if((0 < i && i < x) && (i ^ x) > x)
          count++;    
 }

Answer 1

long long NumberOfA(long long x)
{
    long long t = x <<1;
    while(t^(t&-t)) t ^= (t&-t);
    return t-++x;
}


long long x = 10000000000;
printf("%lld ==> %lld\n", 10LL, NumberOfA(10LL) ); 
printf("%lld ==> %lld\n", x, NumberOfA(x) ); 

输出

10 ==> 5
10000000000 ==> 7179869183

Link to IDEOne Code

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试图解释逻辑（使用示例 10，或1010b）

• 将 x 向左移动 1。（值 20 或 10100b）
• 关闭所有低位，只保留高位（值 16 或 10000b）
• 减去 x+1 (16 - 11 == 5)

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试图解释
（虽然不容易）

您的规则是a ^ x 必须大于x，但您不能向a 或x 添加额外的位。
（如果以 4 位值开头，则只能使用 4 位）

N 位数字的最大可能值为2^n -1。
（例如，4 位数字，2^4-1 == 15）
让我们拨打这个号码B。

在您的值 x 和 B（含）之间，存在 B-x 可能的值。
（回到我的示例, 10。在 15 到 10 之间，有 5 个可能的值：11、12、13、14、15)

在我的代码中，t 是 x << 1，然后关闭所有低位。
（10 << 1 是 20；关闭所有低位以获得 16 )

那么 16 - 1 是 B，B - x 是你的答案：
（t - 1 - x, 与 t - ++x 相同，就是答案）

Answer 2

看待这个问题的一种方法是考虑 x 中的每一位。

• 如果是 1，那么翻转它会产生一个较小的数字。
• 如果它是 0，那么翻转它会产生一个更大的数字，我们应该计算它 - 以及右边的所有位组合。这很方便地添加到掩码值。

long f(long const x)
{
    // only positive x can have non-zero result
    if (x <= 0) return 0;

    long count = 0;

    // Iterate from LSB to MSB
    for (long mask = 1;  mask < x;  mask <<= 1)
        count += x & mask
            ? 0
            : mask;

    return count;
}

我们可能会怀疑这里有一种模式 - 看起来我们只是在复制 x 并翻转它的位。

让我们使用最小的测试程序来确认：

#include <cstdlib>
#include <iostream>

int main(int, char **argv)
{
    while (*++argv)
        std::cout << *argv << " -> " << f(std::atol(*argv)) << std::endl;
}

0 -> 0
1 -> 0
2 -> 1
3 -> 0
4 -> 3
5 -> 2
6 -> 1
7 -> 0
8 -> 7
9 -> 6
10 -> 5
11 -> 4
12 -> 3
13 -> 2
14 -> 1
15 -> 0

所以我们要做的就是“涂抹”该值，以便设置最重要的 1 之后的所有零位，然后与之异或：

long f(long const x)
{
    if (x <= 0) return 0;
    long mask = x;
    while (mask & (mask+1))
        mask |= mask+1;
    return mask ^ x;
}

这要快得多，而且仍然是 O(log n)。