找到最小化树深度的根答案

【问题标题】：Finding the root that minimize tree depth找到最小化树深度的根
【发布时间】：2014-10-09 17:27:30
【问题描述】：

给出一个不包含循环的树（例如最小生成树：http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Minimum_spanning_tree.svg）如果作为根节点，如何计算哪个节点的树深度最小？

【问题讨论】：

澄清：你是在问，给定一个全连接的无向无环图，选择距离最远的节点最近的节点吗？

【解决方案1】：

所有的树都不包含循环。根据定义，树是无环的连通图。如果只有一个顶点，答案是微不足道的。所以假设至少有两个顶点。

令 u 和 v 为两个顶点，使得它们的距离 d (u, v ) 是最大值。应该很容易看出，如果沿着最短 uv 路径选择一个顶点作为根，深度将至少为 ceiling (d em> (u, v) / 2)。还应注意，如果选择一个顶点作为不在该路径上的根，则深度将大于 ceiling (d (u em>, v) / 2).

假设我们选择了根 r 作为沿最小 uv 路径的中间顶点，使得 d (u , r) = 天花板 (d (u, v ) / 2) 和 d (r, v) ≤ 天花板 (d (u, v) / 2)。如果有另一个顶点，w，使得 d (r, w) > ceiling (d (u, v) / 2)，我们会有 d ( u, r) d (w, r) 然后，因为只有树中任意两个不同顶点之间的一条路径，我们有 d (u, v) = d ( u, r) + d (r, v) d (u, r) + d (r, w >) = d (u, w)，这与 u 和 v 距离最远。所以现在深度，给定 r 作为根，是 ceiling (d (u, v ) / 2).

所以我们需要找到距离最大的两个顶点。一旦我们这样做了，我们可以对 uv 使用最短路径查找算法，记下长度，然后沿着所述路径遍历一半，并使用中间顶点作为根。

我们如何找到这些顶点？选择一个顶点 w 并将其放入队列中。当队列非空时，将队列中下一个顶点的邻居添加到队列的末尾。当队列为空时，记下最近移除的顶点。这将是 u。再次执行该过程，您将拥有 v。

为什么会这样？上述算法找到距离 w 最远的顶点。如果 w 恰好是 u 或 v，则算法清楚地找到 v 或 u，分别。所以假设 w 既不是 u 也不是 v。如果算法在第一遍中找到 u 或 v ，它会再次工作（因为它会在第二遍中找到另一个），所以假设，顺便说一句矛盾的是，在第一次通过后它发现 x 使得它不是树的最大路径的末端。从三角不等式我们有 d (u, v) ≤ d (u, w) + d (w, v) 和 d (v, x) ≤ d (v, w) + d (w, x)。从第一个减去第二个我们有 d (u, v) - d (v, x) ≤ d (u, w) - d (w, x)。然后我们可以将其重新排列为 d (u, v) + d (w, x) ≤ d (u, w) + d (v，x）。由于 d (w, u) ≤ d (w, x) (x 是距离 w 的最大路径的终点；wu 不能超过 wx ) 和 d (v, x) d (u, v) (x 不是最大路径的终点)，我们可以加强不等式到 d (u, v) + d (w, x) d ( u, v) + d (w, x)。但是，这是不可能的，因此 x 必须位于最大路径的末尾。

【讨论】：

谢谢！没有其他方法？
我的算法/方法和 Saeed 的完全一样。我只是给出了解释/证明，以便您阅读并知道我的答案是正确的。我可以尝试考虑另一种算法/方法。这个有什么问题？
这个没问题，它工作得很好，但我想知道是否有其他方法可以做到这一点（只是出于好奇）

【解决方案2】：

找到树的diameter，然后选择直径的中间节点作为根。为了找到直径运行两个 BFS，第一个 BFS 从随机节点 v 开始，并找到距离 v 最远的节点，命名为 x，第二个 BFS 找到距离 x 最远的节点，命名为 y。现在x 和y 之间的路径是直径。

【讨论】：

@nax，哪个部分的代码，如果你的树有一个好的数据结构，你可以简单地使用任何可用的 web 上的示例 BFS 代码。
对不起我的英语，我的意思是参考而不是来源
@nax，我的英文并不比你好，但你想参考哪一部分？你在找证据吗（不难，最好自己试试）。但这是一种民间传说，众所周知的问题和解决方案。
是的，我正在寻找证据。

【解决方案3】：

我认为以下算法可能有效（我没有验证它），从您的图形的任何树表示开始。

S = set of all leaves of the tree
foreach node in S: mark(node)
repeat:
  # at each iteration, S is the set of all nodes at
  # a given min distance to a leave
  # initially this distance is 0, then 1, etc.
  S' = empty set
  foreach node in S:
    parent = parent(node)
    if !marked(parent): S' += parent; mark(parent)
  if S' is empty then S contains all innermost nodes, we are done
  S = S' and continue

【讨论】：