在没有数学库的情况下近似 atan

Question

我一直在寻找解决这个问题的方法。我已经看到了许多计算任何 -1

我假设我需要添加或减去 pi 的倍数来抵消它？这种思路正确吗？

目前我有：

double my_atan(double x)
{
    return x - (x*x*x)/3 + (x*x*x*x*x)/5;
}

哪个使用taylor series。

对于下面的代码，

int x;
for (x=0; x<M_PI*2; x++)
{
    printf("Actual: %f\n",    atan(x));
    printf("Approx: %f\n", my_atan(x));
    printf("\n");
}

它很快失去控制（正如预期的那样，因为它超出了范围）：

Actual: 0.000000
Approx: 0.000000

Actual: 0.785398
Approx: 0.866667

Actual: 1.107149
Approx: 5.733333

Actual: 1.249046
Approx: 42.600000

Actual: 1.325818
Approx: 187.466667

Actual: 1.373401
Approx: 588.333333

Actual: 1.405648
Approx: 1489.200000

此处未显示，但当 theta 在适当范围内时，输出相当准确。

所以我的问题是 my_tan 函数究竟需要采取哪些步骤才能支持更广泛的范围？

关注这个已经有一段时间了，所以任何可以提供的指导都将不胜感激

Answer 1

让我完成你的例子并谈谈一些可能有帮助的事情：

#include <stdio.h>
#include <math.h>


double my_atan(double x)
{
    return x - (x*x*x)/3 + (x*x*x*x*x)/5 - (x*x*x*x*x*x*x)/7;
}

int main()
{
    double x;
    for (x=0.0; x<M_PI*2; x+=0.1)
    {
        printf("x: %f\n",    x);
        printf("Actual: %f\n",    atan(x));
        printf("Approx: %f\n", my_atan(x));
        printf("\n");
    }
}

术语int x 是一个整数，您正在逼近大角度。尝试在这里使用双打，您不会收到转换错误。

现在解决您的问题。你使用的泰勒级数只有在你的 |x| 时才有效。

泰勒级数越远离给定点或在您的情况下为零 (0+x)，就会变得不准确。

该系列在 pi/4 之前运行良好，即使在那时它也非常不准确，但较大的值会变得非常糟糕。因此，对于较小的角度，它就足够了。

Answer 2

我用于定点库的解决方案是使用Remez algorithm 的极小极大近似。即使在那里，我对三个范围使用了一组不同的系数：0 到 0.5； 0.5 到 0.75 和 0.75 到 1。通过这种细分，我能够获得 1 ULP 准确度。

那么你需要很好的参数缩减来获得范围内的参数。在我的例子中，我对超过 1 的参数使用了一个很好的倒数函数。下面是身份：

atan(-x) == -atan(x)

atan(x) == pi/2 - atan(1/x) // for x > 1

Taylor vs. Remez 近似值here 上有一个nice blog post；在那个站点上还有一个Remez toolkit 用于查找您需要的系数。