集合中最大可能的不相交子集数答案

【问题标题】：Largest possible number of disjoint subsets in a set集合中最大可能的不相交子集数
【发布时间】：2018-12-10 06:54:06
【问题描述】：

我得到了一组列表，例如：

[[0, 1, 3], [0, 2, 12], [6, 9, 10], [2, 4, 11], [2, 7, 13], [3, 5, 11], [3, 7, 10], [4, 10, 14], [5, 13, 14]]

我需要找到该列表包含的最大不相交子集数。在这种情况下，答案是4。

另一个例子是列表： [[0, 1, 12], [0, 4, 11], [0, 7, 19], [0, 15, 17], [0, 16, 18], [1, 4, 16], [1, 13, 25], [2, 4, 23], [2, 10, 27], [2, 12, 19], [2, 14, 22], [2, 16, 20], [3, 6, 13], [3, 7, 22], [3, 10, 14], [3, 20, 26], [4, 7, 13], [4, 17, 22], [5, 7, 25], [5, 9, 22], [5, 10, 21], [5, 11, 23], [5, 12, 20], [5, 13, 16], [5, 14, 15], [6, 7, 17], [6, 10, 23], [7, 11, 20], [7, 14, 27], [7, 18, 23], [8, 12, 26], [8, 14, 17], [8, 22, 23], [11, 12, 18], [12, 17, 21], [12, 23, 25], [13, 19, 20], [13, 21, 24], [18, 20, 25], [18, 24, 26], [19, 24, 27]] 在这里，答案是 8。

我知道这个问题是 NP 难的，所以我想出了一种半蛮力的方法。

我首先通过将子集添加到不相交的子集列表中来获得近似答案。因此，每当我遍历一个集合时，我都会检查它是否已经存在于不相交的子集列表中。如果不是，我将其添加到列表中。这给了我一个大概的数字，它可能是也可能不是最大可能的子集数。

def is_disjoint(disjoints, i, j, k):
    disjoints_flat = list(chain.from_iterable(disjoints))
    if (i in disjoints_flat) or (j in disjoints_flat) or (k in disjoints_flat):
        return False
    return True

.... other code 

# disjoint determination
n_disjoints = 0
disjoints = []

# sets is the input
for set in sets:
    if is_disjoint(disjoints, set[0], set[1], set[2]):
    if is_dis:
        n_disjoints += 1
        disjoints.append(set)

获得大致目标后，我反复检查更高的可能值。为此，我尝试从给定的一组值中生成所有可能的k 大小的子集（k 被初始化为上面获得的数字），然后我尝试检查是否可以找到一个不相交的子集。如果我这样做，那么我检查k+1 大小的子集。但是，我的代码在生成k 可能的子集时运行速度非常慢。我希望有人可以提出任何加快解决方案的方法。这是蛮力搜索部分的代码。

def is_subset_disjoint(subset):
    disjoints = []
    n_disjoints = 0
    for set in subset:
        if is_disjoint(disjoints, set[0], set[1], set[2]):
            disjoints.append(set)
            n_disjoints += 1

    if n_disjoints == len(subset):
        return True
    return False

..... other code 

curr = n_disjoints+1
while n_disjoints <= n_sets:
    all_possible_subsets = [list(i) for i in combinations(sets, curr)] # This runs really really slowly (makes sense since exponential for large values)
    for subset in all_possible_subsets:
        if is_subset_disjoint(subset):
            n_disjoints += 1
            curr += 1
            continue
    break

【问题讨论】：

组是否总是 3 个不同的整数？
@wim 是的，他们是
en.wikipedia.org/wiki/3-dimensional_matching
@Kek 对于第二个示例，当我运行您的代码时，我得到 n_disjoints 为 1070。你能检查一下吗。谢谢。
@Kek 你能解决这个问题吗？

标签： python algorithm set

【解决方案1】：

创建一个图，以便列表是顶点，如果两个顶点不相交，则它们是连接的。比你的问题是找到maximum independent set。

在任何情况下，使用图结构都比使用子集和对其进行操作更简单、更快捷。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以将递归与生成器一起使用：

all_vals = [[0, 1, 3], [0, 2, 12], [6, 9, 10], [2, 4, 11], [2, 7, 13], [3, 5, 11], [3, 7, 10], [4, 10, 14], [5, 13, 14]]

class _subsets:
   def is_disjoint(self, _vals:list) -> bool:
     _c = [i for b in _vals for i in b]
     return len(_c) == len(set(_c))
   def _combos(self, _sets, _current = []):
     if len(_current) == len(_sets) and self.is_disjoint(_current):
       yield _current
     else:
       if len(_current) > 1 and self.is_disjoint(_current):
         yield _current
       for i in _sets:
          if i not in _current:
             yield from self._combos(_sets, _current+[i]) 
   def __call__(self, _sets):
      return max(list(self._combos(_sets)), key=len)



_result = _subsets()(all_vals)
print(f'{len(_result)}: {_result}')

输出：

4: [[0, 1, 3], [6, 9, 10], [2, 4, 11], [5, 13, 14]]

【讨论】：

【解决方案3】：

如前所述，您应该将问题简化为寻找最大独立集，您可以将其简化为最大团问题。

我刚刚实现了相当快的算法，很高兴与您分享，但我没有力气解释它，因为它足够复杂和精密。你可以看看核心思想here。

请随意使用此代码：https://gist.github.com/mingaleg/e1872483d0d0618fe1acacccbf741050

在您作为示例提供的大列表中，它适用于6 sec（如果您使用的是pypy，则为0.5 sec）。

【讨论】：