连通图中的最小总路径数答案

【问题标题】：Minimum number of total paths in a connected graph连通图中的最小总路径数
【发布时间】：2020-08-18 07:09:00
【问题描述】：

我在 TopCoder 上查看 PenLift 问题，在阅读 this editorial 之后，我现在明白了如何做到这一点，但是有一件事我不明白。

一个众所周知的定理指出，遍历连通图中的所有边需要 numOfOddVertices/2 个总路径。

这是什么理论？还有为什么会这样？我的第一个想法是通过添加边来找到欧拉路径，使所有顶点除了 2 之外的度数都是偶数，因为这将允许欧拉路径。我不确定这是否正确，如果正确，我怎么知道这是最好的方法，这似乎很贪婪，但我没有看到任何证据。有人可以将我链接到理论或解释它是如何工作的吗？提前致谢。

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

这是什么理论？

图论。

还有为什么会这样？

我们需要假设至少一对奇数度的顶点。

下界：归纳证明具有 2k 个奇数度顶点的图至少需要 k 个路径。基本情况 k = 1：微不足道。步骤 k > 1：从具有 2k 个奇数度顶点的图中移除一条路径，至少会留下 2k-2 = 2(k-1) 个奇数度顶点。

上限：用连接成对不相交的奇数度顶点对的 k 条边来扩充图。现在所有顶点的度数都是偶数，所以存在欧拉回路。从此电路中删除新边；剩下 k 条路径。

【讨论】：

【解决方案2】：

在图中，奇数顶点 (n) 的数量始终为零或偶数。如果 n = 0，您可以从任意点开始遍历整个图形。如果 n > 0，要遍历图，您应该始终从一个奇数顶点开始，然后您将从另一个奇数顶点结束。假设你连续绘制的路径数是 K。

如果 n = 2，您仍然可以一次性遍历图表。即从一个奇数顶点开始，在另一个顶点结束。 K = 1
如果 n = 4 遍历一次后，您将留下一个具有 2 个奇数顶点的子图。您可以一口气遍历该子图。 K = 2
如果 n = 6，您将不得不遍历图表 3 次。 K = 3 等等.....

请阅读我的博文了解更多信息。 http://jeewanthad.blogspot.com/2012/11/eulerian-trail.html

【讨论】：

"如果 n = 4 遍历一次后，您将留下一个具有 2 个奇数顶点的子图。您可以一次性遍历该子图" 您必须小心不要断开组件具有所有偶数度的顶点。
是的。当 n = 4 时，K 至少为 2。

【解决方案3】：

首先，原问题中提出的方法当然是正确的：将除两个以外的所有奇数顶点配对，在每对之间添加一条边，然后计算欧拉路径。添加的边对应于最终遍历中的移动。

如果希望尽量减少笔式绘图仪或类似设备的运动，请考虑以下事项：绘制线条的运动始终等于边长的总和，因此保存运动的唯一方法是尽量减少运动。添加的边表示移动，因此目标是以最小化添加边的长度的方式配对奇数顶点。这实际上是一个众所周知但相当困难的问题，称为“一般图上的最小成本完美匹配”（注意，general 图，而不是 bipartite）。有一种称为 Blossom 算法的算法可以在 O^3 时间内解决它，但我从未找到完整算法的令人满意的描述——所有这些都相当模糊和令人困惑。

【讨论】：