我们可以计算位于网格之外的方格，然后从范围内的奇数/偶数方格总数中减去这些方格（无论是否超出范围）。
这实际上比我们想象的要容易。首先，我们希望能够计算范围内奇数/偶数方格的数量，而不考虑边界。使用直到 N - S = N * (N + 1) / 2 的自然数之和的公式，我们可以为此推导出几个简单的方程：
def count_all(size):
if size % 2: # odd size
return (size + 1) ** 2
return size * (size + 2) + 1
尝试自己推导这些可能是一个很好的练习，或者至少用几个例子来验证它们实际上是正确的。
继续前进——我们可以通过“缩小”我们的半径来消除从上方掉出边界的点。这是非常直观的，所以让我给你一个图表。想象一下范围是某个固定数字的点，比如range=13，而我们的中心位于右下象限，比如(17, 5)。如果我们绘制这些点，用线将它们连接起来，它会创建一个菱形：
| /\
| / \
| / \
-+-----------
| / \
| \ /
| \ /
| \ /
| \/
如果我们只关心计算轴上方的点，我们可以等效地只计算相应向上移动的较小钻石的轴上方的点。示例：
| /\
| / \
| / \
-+-----------
| \ /
| \ /
| \/
现在，这非常使用起来很方便，因为钻石的一半在上面，一半在下面。不过，我们有一半要小心——有些点落在轴上，两者都需要同等地考虑在边界内或边界外，但我们可以很容易地解释这一点。
利用这种洞察力，我们可以通过缩小范围和移动中心点来计算跨轴超出范围的点数，并在这个新绘图的一半上计算点数。计数代码：
def count_side(size):
if size % 2:
return (size + 1) // 2
return size // 2 + 1
def count_half(size):
if size < 0:
return 0
return count_all(size) // 2 + count_side(size)
请注意，我们必须注意偶数范围，因为我们需要只计算中心（范围 0）一次。
虽然我们还没有完成——如果我们只是减去超出边界的点数，然后独立地向左移动，我们就会多算要删除的点数，因为我们计算的是左上象限两次。为了解决这个问题，我们使用相同的技巧。我们将首先在 x 轴上缩小 + 移动钻石，然后我们将在这个新钻石上再次这样做，但在 y 轴上。请注意，这颗新钻石最终将以原点为中心。我建议您在这一点上暂停片刻以想象这一点并说服自己这很好，实际上会为我们提供任何特定范围的新菱形，包含落在左上角的点数的 4 倍象限。
使用它，我们计算左上象限中的点数，将它们重新添加到总数中。然后我们对右侧、底部和其他三个角重复相同的过程，以获得总体总数。整个解决方案如下：
from itertools import product
def count_all(size):
if size % 2:
return (size + 1) ** 2
return size * (size + 2) + 1
def count_side(size):
if size % 2:
return (size + 1) // 2
return size // 2 + 1
def count_half(size):
if size < 0:
return 0
return count_all(size) // 2 + count_side(size)
def count_quarter(size):
if size < 0:
return 0
return count_all(size) // 4 + count_side(size)
def get_deltas(pos, limit):
return -(pos + 1), pos - (limit + 1)
def count_inside(c, r, x, y, s):
total = count_all(s)
vertical_deltas = get_deltas(x, c)
horizontal_deltas = get_deltas(y, r)
out_sides = sum(count_half(s + delta)
for delta in horizontal_deltas + vertical_deltas)
out_corners = sum(count_quarter(s + delta_vert + delta_horiz)
for delta_vert, delta_horiz in product(vertical_deltas, horizontal_deltas))
inside = total - out_sides + out_corners
return inside
几个例子：
>>> print(count_inside(5, 4, 2, 1, 3))
12
>>> print(count_inside(5, 4, 2, 1, 4))
14
>>> print(count_inside(5, 4, 2, 1, 5))
15
>>> print(count_inside(10, 6, 3, 2, 8))
36