使用随机数生成器的代码大 O 是什么？

Question

我想用从 1 到 N 的随机值填充数组“a”（没有重复值）。让我们假设 randInt(i, j) 的 Big-O 为 O(1)，并且此函数生成从 i 到 j 的随机值。
输出示例如下：

{1,2,3,4,5} 或 {2,3,1,4,5} 或 {5,4,2,1,3} 但不是 {1,2,1,3,4 }

#include<set>
using std::set;

set<int> S;// space O(N) ?
int a[N];  // space O(N)
int i = 0; // space O(1)
do {
    int val = randInt(1,N);   //space O(1), time O(1) variable val is created many times ?
    if (S.find(val) != S.end()) { //time O(log N)? 
        a[i] = val; // time O(1)
        i++; // time O(1)
        S.insert(val); // time O(log N)  <-- we execute N times O(N log N)
    }
 } while(S.size() < N); // time O(1)

While 循环将继续，直到我们生成从 1 到 N 的所有值。 我的理解是 Set 以对数时间 log​​(N) 对值进行排序，并在 log(N) 中插入。

Big-O = O(1) + O(X*log N) + O(N*log N) = O(X*log N) 

其中X越多，生成不在Set中的数字的概率就越大。

time O(X log N)

space O(2N+1) => O(N), we reuse the space of val 

在哪里 ??每次执行 randInt 都很难生成所有不同的数字，所以至少我希望执行 N 次。
变量 X 是否创建了多次？
X 的良好价值是多少？

Answer 1

假设 RNG 是理想的。也就是说，对 randInt(1,N) 的重复调用会生成一个 i.i.d。 （独立且同分布）均匀分布在 {1,...,N} 上的值序列。

（当然，实际上 RNG 并不理想。但让我们继续吧，因为它使数学更容易。）

平均情况

在第一次迭代中，选择了一个随机值 val₁，当然它还没有在集合 S 中。

在下一次迭代中，选择另一个随机值。

• 在概率 (N-1)/N 的情况下，它将与 val₁ 不同，并且将执行内部条件。在这种情况下，调用所选值 val₂。
• 否则（概率为 1/N），所选值将等于 val₁。重试。

平均需要多少次迭代才能选择有效的（不同于 val₁）val₂？好吧，我们有一个独立的尝试序列，每个尝试成功的概率为 (N-1)/N，我们想知道平均需要多少次尝试才能第一次成功。这是一个几何分布，通常成功概率为 p 的几何分布的均值为 1/p。因此，平均需要 N/(N-1) 次尝试来选择 val₂。

同样，平均需要 N/(N-2) 次尝试来选择与 val₁ 和 val₂ 不同的 val₃，等等。最后，第 N 个值平均需要 N/1 = N 次尝试。

总共会执行do循环

平均次数。和 是第N 个harmonic number，可以用ln(N) 粗略近似。 （有一个众所周知的better approximation，它有点复杂，涉及到Euler-Mascheroni constant，但ln(N) 足以找到渐近复杂度。）

因此，对于一个近似值，平均迭代次数将为 N ln N。

算法的其余部分呢？像将 N 个东西插入一个集合之类的事情最多也需要 O(N log N) 时间，因此可以忽略。剩下的最大的事情是每次迭代你必须检查选择的随机值是否在 S 中，这在 S 的当前大小中需要对数时间。所以我们必须计算

从数值实验来看，对于大 N，它似乎大约等于 N/2 * (ln N)^2。（考虑在 math.SE 上寻求证明。） del> 编辑：请参阅this math.SE answer 以获得简短的非正式证明，以及other answer to that question 以获得更正式的证明。

因此，总而言之，总平均复杂度为 Θ(N (ln N)^2)。 同样，这是假设 RNG 是理想的。

最坏情况

就像 xaxxon 提到的，原则上可能（尽管不太可能）算法根本不会终止。因此，最坏情况的复杂度将是 O(∞)。

Answer 2

这是实现目标的非常糟糕的算法。

只需用数字 1 到 N 填充数组，然后随机播放。

这是 O(N)

https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%E2%80%93Yates_shuffle

要随机播放，请在 0 和 N-1 之间选择一个索引并将其与索引 0 交换。然后在 1 和 N-1 之间选择一个索引并将其与索引 1 交换。一直到列表末尾。

就您的具体问题而言，这取决于您的随机数生成器的行为。如果它真的是随机的，它可能永远不会完成。如果是伪随机，则取决于生成器的周期。如果它的周期为 5，那么您将永远不会有任何欺骗。

Answer 3

这是具有复杂行为的灾难性代码。生成第一个数字是 O(1)，然后第二个涉及二进制搜索，所以 log N，加上如果找到数字，则重新运行生成器。得到一个新数的机会是 p = 1- i/N。所以重新运行的平均次数是倒数，给你另一个 N 因子。所以 O(N^2 log N)。

这样做的方法是生成数字，然后将它们随机排列。那是 O(N)。