for 循环的运行时间 - 第 2 部分答案

【问题标题】：Running time of for loop - part #2for 循环的运行时间 - 第 2 部分
【发布时间】：2011-10-10 11:37:35
【问题描述】：

这将是我关于分析 for 循环运行时间的问题的第 2 部分

http://faculty.simpson.edu/lydia.sinapova/www/cmsc250/LN250_Weiss/L03-BigOhSolutions.htm#PR4 包含解决方案，我对两个特定的“for”循环有疑问

有人可以向我解释如何计算他们两个的运行时间。谢谢！

sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
    for( j = 0; j < i*i; j++)
        for( k = 0; k < j; k++)
            sum++;

sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
    for( j = 0; j < i*i; j++)
        if (j % i ==0)
           for( k = 0; k < j; k++)
               sum++;

【问题讨论】：

标签： performance big-o

【解决方案1】：

第一个sn-p是O(n^5)。

Top Loop    = 0 - O(n)   = O(n)   iterations
Middle Loop = 0 - O(n^2) = O(n^2) iterations
Inner Loop  = 0 - O(n^2) = O(n^2) iterations

Total = O(n^5)

这是第一个 sn-p 的封闭式解：（通过 Mathematica 计算）

sum = -(1/10)*n + (1/4)*n^2 - (1/4)*n^4 + (1/10)*n^5

这是一个五阶多项式，因此它是：O(n^5)

第二个 sn-p 似乎是 O(n^4)。

Top Loop    = 0 - O(n)   = O(n) iterations
Middle Loop = 0 - O(n^2) = O(n^2) iterations
If statement enters: O(1 / n) times
Inner Loop  = 0 - O(n^2) = O(n^2) iterations

Total = O(n^4)

这是第二个 sn-p 的封闭式解：（通过 Mathematica 计算）

sum = -(1/12)*n + (3/8)*n^2 - (5/12)*n^3 + (1/8)*n^4

这是一个四阶多项式，因此它是：O(n^4)

if语句作用的进一步解释：

中间循环从 0 迭代到 i*i。 if 语句检查j 是否可以被i 整除。但这只有在j 是i 的倍数时才有可能。

如果0 <= j < i*i，j 是i 的倍数？正是i 次。因此只有1/i的中间循环迭代会落到最里面的循环。

【讨论】：

你能详细说明一下封闭的表格吗，这是我最休息的。我正在寻找这样的东西stackoverflow.com/questions/7375296/…
所以你对我是如何得到那些封闭式方程感兴趣的？
对于#1，我想出了这样的东西 Sum(Sum j, j= 0.....i*i),i = 0 .......n)
我对封闭形式更感兴趣，而不是“至多”
这正是我所做的。我将这个三重循环表达为三重求和。然后我把它扔进 Mathematica，它给了我这个结果。然后我根据实际代码本身对其进行了验证。同样适用于＃2，但if语句有所不同。如果您有兴趣逐步了解如何以代数方式从三重求和到最终多项式 - 这并不容易。反正我已经很久没有手工做过这种事情了。

【解决方案2】：

'n' 以及第二个 for 循环语句（...，x

【讨论】：