插入排序 - 最佳/平均分析

Question

关于引用 Sedgewick 教授的插入排序 lecture，

我知道了，

Proposition：要对具有不同键的随机排序数组进行排序，插入排序平均使用 ~(1/4 )N^2 次比较和 ~(1/4 )N^2 次交换。

我也知道了，

Best case - 如果数组是升序的，插入排序进行 N-1 次比较和零次交换

如果我分析伪代码，

int n = array.length;
for(int i=0; i < n; i++){
  for(int j=i; j>0; j--){
    if(less(a[j], a[j-1]))
      swap(array, j, j-1);
    else
      break; // Is N^2/4 due to break statement?
  }
} 

问题：

所以，

由于break 声明避免进一步比较，插入排序在平均情况下执行 (N^2)/4 次比较，在最佳情况下执行 N-1 次比较。

我的理解正确吗？

Answer 1

啊，还需要更多的数学知识。

您是否意识到插入排序执行的交换次数正是输入中存在的反转次数？

反转：如果i<j but a[i]>a[j]，索引对 (i,j) 是反转。

So I(i,j) = 1 if (i,j) is inversion
          = 0 if (i,J) is not an inversion

Now you have to get the expectation of this to get the average case
E[I]= Sum(E[I_{i,j}) = Sum over i and j such that i<j [(1/2)]= 1/2*nC2=n*(n-1)/2*1/2~n^2/4

Why E[I_(i,j)]=1/2?
    E[I_(i,j)]=P(I_(i,j)=1)*I_(i,j)+P(I_(i,j)=0)*I_(i,j)
              = 1/2*1+1/2*0
              = 1/2

i 有多少个索引

1 2 3 4 .. n
For 1 there is 0 such indices
For 2 there is 1 such index [1]
For 3 there is 2 such index [1,2]
..
For n there is 1 such index [1,2,..n-1]
So total = 0+1+2..+n-1= n*(n-1)/2 

顺便说一句，我猜你知道这个......但仍然。为什么 1+2+..n-1=n*(n-1)/2

Let the sum be S= 1+2+3+...+n-1
               S= n-1+n-2+....1
            -----------------------
              2*S= (n-1+1)+(n-2+2)...(1+n-1)
                 = n *n*n...n-1 times
                 = n*(n-1)
            So S = n*(n-1)/2