我试图将以下函数从 -infinity 集成到 infinity。答案应该是 0.2，但 R 给出的数字非常小。怎么了？
>f=function(x){exp(-10*abs(x-25))}
>integrate(f,-Inf,Inf)
5.329164e-15 with absolute error < 1e-14
【问题讨论】：
integrate(f, -Inf, Inf, abs.tol = 0) 工作吗？
标签： r
我需要更长的时间来完全解释这一点，希望其他用户能够添加到这个 wiki。
从?integrate，abs.tol 参数定义为
要求绝对准确。
下面是以下注释：
当在无限区间积分时，明确地这样做，而不是仅仅使用一个大数作为端点。这增加了正确答案的机会——任何在无限区间上的积分是有限的函数在该区间的大部分时间里都必须接近于零。
因此，如果您想要绝对准确度而不是相对准确度（定义为 .Machine$double.eps^0.25 的结果），那么您可以这样做
> integrate(f, Inf, -Inf, abs.tol = 0L)
0.2 with absolute error < 8.4e-06
abs.tol 的默认参数是从rel.tol 传递的，即.Machine$double.eps^0.25
让我们看看“内部”发生了什么。
ifoo<-integrate(f,-Inf,Inf,abs.tol=1e-20)
5.275825e-21 with absolute error < 9.8e-21
str(ifoo)
List of 5
$ value : num 5.28e-21
$ abs.error : num 9.81e-21
$ subdivisions: int 3
$ message : chr "OK"
$ call : language integrate(f = f, lower = -Inf, upper = Inf, abs.tol = 1e-20)
- attr(*, "class")= chr "integrate"
ifoo<-integrate(f,-Inf,Inf,abs.tol=1e-40)
0.2 with absolute error < 8.4e-06
str(ifoo)
List of 5
$ value : num 0.2
$ abs.error : num 8.36e-06
$ subdivisions: int 21
$ message : chr "OK"
$ call : language integrate(f = f, lower = -Inf, upper = Inf, abs.tol = 1e-40)
- attr(*, "class")= chr "integrate"
请注意细分数量的突然增加。一般来说，更多的细分意味着更好的准确性，这毕竟是微积分的重点：将细分宽度减少到零，以获得准确的答案。我的猜测是，对于大（ish）abs.tol，计算值只需进行一些细分即可与一些“估计容差误差”一致，但是当所需的容差变得足够小时，会“添加更多的细分”。 "
编辑：感谢 Hong Ooi，他实际查看了有问题的被积函数。 :-) 。因为这个函数在x==25 有一个尖点，即导数的不连续性，所以优化算法可能会在收敛方面被“误导”。奇怪的是，通过利用这个被积函数很快接近零的事实，当 不 积分到 +/-Inf 时，结果会更好。事实上：
Rgames> integrate(f,20,30)
0.2 with absolute error < 1.9e-06
Rgames> integrate(f,22,27)
0.2 with absolute error < 8.3e-07
Rgames> integrate(f,0,50)
0.2 with absolute error < 7.8e-05
【讨论】：
integrate(f,-Inf,Inf,abs.tol=1e-20) # 5.275825e-21 with absolute error < 9.8e-21 ifoo<-integrate(f,-Inf,Inf,abs.tol=1e-40) # 0.2 with absolute error < 8.4e-06 所以当我降低绝对容差时，突然绝对误差 increases 。我明白为什么很多人会感到迷惑。
虽然?integrate 中的建议通常明确指定 +/-Inf 作为限制是有效的，但在特殊情况下可能是错误的。这是其中之一。
> integrate(f, 20, 30)
0.2 with absolute error < 1.9e-06
基本问题似乎是您的函数不平滑，因为它的导数在 x=25 处不连续。这可能会欺骗算法，特别是它使用 Wynn 的 epsilon 方法来加速收敛。基本上没有什么可以真正替代了解您的功能是什么样的，以及它的行为如何导致问题。正如答案here 中指出的那样，R 不是符号数学求解器，因此在尝试获得数值结果时必须更加小心。
【讨论】：