高等数学期末总复习DAY16.第一类曲线积分、第二类曲线积分、格林公式

DAY16.

人不能没有性情

文章目录

• DAY16.
• 第一类曲线积分
• 第二类曲线积分
• 格林公式

第一类曲线积分

对弧长的曲线积分

基本形式为：$\int_L f(x,y) d_s$∫L​f(x,y)ds​

其中L为弧长、f(x,y)的点在弧长L上

又分为三种形式方程

1. $L : y = y(x) ; \Rightarrow \int_a^{b} f(x, y(x))\sqrt {1+(y'_x)^2}d_x$L:y=y(x);⇒∫ab​f(x,y(x))1+(yx′​)2​dx​
2. $L : x = x(y) ; \Rightarrow \int_a^{b} f(x(y), y)\sqrt {1+(x'_y)^2}d_y$L:x=x(y);⇒∫ab​f(x(y),y)1+(xy′​)2​dy​
3. $L:\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(x(t),y(t)) \sqrt{(\frac{d_x}{d_t})^2+(\frac{d_y}{d_t})^2}d_t$L:{x=x(t)y=y(t)​⇒∫t1​t2​​f(x(t),y(t))(dt​dx​​)2+(dt​dy​​)2​dt​

例题

求$\int_L (x^2+y^2)^n d_s$∫L​(x2+y2)nds​其中L由圆周 $x = a \cos t ,y = a\sin t(0\leqslant t \leqslant 2 \pi)$x=acost,y=asint(0⩽t⩽2π)围成

解：

依题意可知这是上面的第三种情况：

$\int_L (x^2+y^2)^n d_s$∫L​(x2+y2)nds​

$=\int_0^{2 \pi}(a^2\cos^2 t+a^2\sin^2t)^n \sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}d_t$=∫02π​(a2cos2t+a2sin2t)n(−asint)2+(acost)2​dt​

$=\int_0^{2 \pi} a^{2n} a d_t$=∫02π​a2nadt​

$=2\pi a^{2n+1}$=2πa2n+1

第二类曲线积分

对坐标的曲线积分

$\int_LP(x,y)d_x + Q(x,y)d_y$∫L​P(x,y)dx​+Q(x,y)dy​

举一例：

$L : y = y(x) \Rightarrow \int_a^b P(x,y(x))d_x+Q(x,y(x))y'(x)d_x$L:y=y(x)⇒∫ab​P(x,y(x))dx​+Q(x,y(x))y′(x)dx​

例题

求$\int_L (x^2 - y^2) d_x$∫L​(x2−y2)dx​其中L是 $y = x^2$y=x2从点（0，0）到（2，4）的一段弧

解：化为X形区域可得：

$=\int_0^2 (x^2 - (x^2)^2) d_x$=∫02​(x2−(x2)2)dx​

$= - \frac{56}{15}$=−1556​

格林公式

要使用格林公式要满足一下三点：

1. 积分区域封闭
2. 正向
3. D内$\frac{\varphi Q}{\varphi x},\frac{\varphi P}{\varphi y}$φxφQ​,φyφP​存在且连续

例题

计算$\int_L (e^x \sin y - 2y)d_x + (e^x \cos y - 2)d_y$∫L​(exsiny−2y)dx​+(excosy−2)dy​其中L为：

其中L为原曲线，我们做一条辅助线L1 ，图中已标明方向

$L = \begin{cases} y = 0 \\ 0 \leqslant x \leqslant 2a \end{cases}$L={y=00⩽x⩽2a​

此时整个方程满足格林公式的要求

$\int_L (e^x \sin y - 2y)d_x + (e^x \cos y - 2)d_y$∫L​(exsiny−2y)dx​+(excosy−2)dy​

$= \iint_{D_{xoy}} (e^{x}\cos y - (e^x \cos y -2))d_xd_y$=∬Dxoy​​(excosy−(excosy−2))dx​dy​

$=2 \iint_{D_{xoy}}d_xd_y$=2∬Dxoy​​dx​dy​

$=2 * \frac{1}{2} \pi a^2$=2∗21​πa2

$= \pi a^2$=πa2