概率论与数理统计基础（三）:常用连续分布

注：本文针对常用的连续分布：正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、卡方分布与贝塔分布作了大致的介绍，需要记住它们的参数、数学期望与方差、以及密度函数，一个分布就是一个概率模型。

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目录

       各种分布之间的关系

1 正态分布 

密度函数、分布函数、背景、参数   、参数 

标准正态分布、标准化变换、由正态分布计算概率值、正态分布的3 原则

2 均匀分布 

背景、密度函数、分布函数、均匀分布的密度函数与分布函数图

期望与方差、标准均匀分布

3 指数分布

背景、密度函数、指数分布密度函数图、分布函数

数学期望与方差、指数分布的无记忆性

4 伽马分布 ​

伽马函数 ​、背景、密度函数、数学期望与方差、与指数分布​ 的关系

 5 卡方分布 ​  （Chi square) 

与伽马分布的关系、密度函数、期望与方差

6 贝塔分布 ​ 

背景、贝塔函数 ​ 、密度函数、数学期望与方差、与均匀分布的关系

【7】 对数正态分布 ​  

【8 】韦布尔分布             【9】  t分布                   【 10 】F 分布 

 7 常用连续分布表

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常用连续分布

 

各种分布之间的关系

• 伽马分布与指数分布：
• 负二项分布与几何分布【离散分布】：
• 伽马分布与卡方分布：
• 正态分布与卡方分布：若 ，则
• 贝塔分布与均匀分布：

 

【1 】正态分布 

密度函数

正态分布的密度函数曲线又称“钟形曲线”

分布函数

 

或写成用分号隔开参数和随机变量的形式

其中参数 ， 

背景:

测量误差常被认为服从正态分布/【高斯分布】，因为它是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果。

参数 

•  是正态分布的数学期望，即 ,称  为正态分布的位置参数/对称中心，以 为对称轴，正态分布左右两边的密度函数曲线 与x 轴所围的面积各为0.5 ， 也是正态分布的中位数 。
• 标准差 相同，而  不同时，相当于把密度函数曲线沿着x轴作水平位移，如下图所示

（图的右上角备注了不同颜色的曲线对应的参数）

• 若  ,则 X在离   越近取值的可能性越大；离   越远取值的可能性越小。

 

参数 

•  是正态分布的方差，即  ,
•  是正态分布的标准差， 越小，正态分布越集中，密度曲线越“高瘦”， 越大，正态分布越分散，密度曲线越“矮胖”， 又称为正态分布的尺度参数。
• 若  ,则 其密度函数 在  处有两个拐点。
• 设 ,则

 

标准正态分布

称 的正态分布 为标准正态分布，记U为标准正态变量， 标准正态分布的密度函数和分布函数  满足如下关系：

•  
•  ；对于 的值可直接查正态分布表。

标准化变换

正态分布的性质：正态变量的线性变换仍为正态变量，即

           若 ，则当  时，有  .

若  ,则   ,其中  称为 X的标准化变换。

由正态分布计算概率值

涉及正态分布的概率计算，一般是先转化为标准正态，再查标准正态的分布函数表，即可求得概率值。

若  ,则 对任意的实数a 与b,有

• 
• 
• 
• 

 

正态分布的3原则

 设 ，则

管理学中的六西格玛原则就是与均值 的标准偏差不小于 6，也就是这种差异的绝对值不小于3，表示当产品质量控制在这个范围内时，此时的产品无缺陷的概率高达99.73%，这个原则可用来降低产品与服务的缺陷次数。参考：六西格玛

后期再讲中心极限定理时，还会再次用到正态分布，它可以说是最基础最重要的连续分布了。

参考 正态分布（高斯分布） - hhaowang的博客

【2 】均匀分布 

背景

 向区间  内随机投点，使点落在任意相等长度的小区间内的可能性相等，则落点坐标服从均匀分布 .

密度函数

分布函数

均匀分布的密度函数与分布函数图

 

期望与方差

 ;  

标准均匀分布

称区间（0，1）上的均匀分布为标准均匀分布，它是导出其它均匀分布随机数的桥梁。

【3】 指数分布

背景

• 很多产品的寿命 可认为（近似）服从指数分布；
• 一个元器件/设备/系统 遇到外来冲击即告失效，则首次冲击来到的时间X(寿命)服从指数分布

密度函数

指数分布密度函数图

 

分布函数

数学期望与方差

指数分布的无记忆性

若  ，则对任意的 ，有

 

【4】 伽马分布 

伽马函数 

称    为伽马函数，其中参数 ，伽马函数具有如下性质：

• 
• 
• 
•   ,n为自然数；或写作  

余元公式：对于  ,有 

• 与贝塔函数  的关系 : 
• 对于  ;伽马函数是严格凹函数。
• x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值: 

 

背景：

若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布  .

密度函数:

  为形状参数 ， 为尺度参数 ；

密度函数图如下所示，

数学期望与方差

与指数分布 的关系

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，

若 ,则 ,其中  【独立同分布】

【 5】 卡方分布   （Chi square) 

与伽马分布的关系

 称 的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即

密度函数

 

期望与方差

注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

【6】 贝塔分布  

背景

很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量

贝塔函数  

称   为贝塔函数，其中参数  。贝塔函数的性质：

• 
•  

密度函数 

当 时，为f(x);否则为0.

其中 都是形状参数。【下图中 a就是 ，b就是 】

 贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。

数学期望与方差

与均匀分布的关系

当  时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即  .

 

【7】 对数正态分布 

• 若X的密度函数为 如下 ，

则称X服从对数正态分布，记为  .其中  . 

• 对数正态分布的密度函数图

• 对数正态分布的期望与方差

                    若 ， 则   .

• 与正态分布的关系：

                     若  ，则  

 

【8 】韦布尔分布

 

【9】  t分布 

【 10 】F 分布 

 

7 常用连续分布表

 概率论与数理统计教程-茆诗松-第二版 ；习题与解答

贝塔、伽马分布 - CSDN博客