概率论与数理统计(三)

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第三章 多维随机变量及其分布

二维随机变量

定义：设(X,Y)是二维变量，对于任意实数x，y，二元函数：
F(x,y)=P{(X$\leq$≤x)$\bigcap$⋂(Y$\leq$≤y)==P{X$\leq$≤x,Y$\leq$≤y}}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数

1.F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y，当$x_2$x2​>$x_1$x1​时
F(x,y)$\geq$≥F($x_1$x1​,y),对于固定的x，当$y_2$y2​>$y_1$y1​时F(x,$y_2$y2​)$\geq$≥F(x,$y_1$y1​)
2.0$\leq$≤F(x,y)$\geq$≥ 1,且
对于任意固定的y，F($-\infty$−∞,y)=0
对于任意固定的x，F(x,$-\infty$−∞)=0
F($-\infty$−∞,$-\infty$−∞)=0,F($\infty$∞,$\infty$∞)=1


如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为($x_i$xi​,$y_j$yj​),i,j=1,2.记P{X=$x_i$xi​,Y=$y_j$yj​}=$P_{ij},i,j=1,2,3....$Pij​,i,j=1,2,3....则由概率的定义有
1.$P_{ij}\geq0$Pij​≥0
2.$\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}P_{ij}=1$∑i=1∞​∑j=1∞​Pij​=1
3.F(x,y)=$\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_i\leq y}P_{ij}$∑xi​≤x​∑yi​≤y​Pij​

如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x，y有
F(x,y)=$\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv$∫−∞y​∫−∞x​f(u,v)dudv
则称(X,Y)是连续的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度
概率密度f(x,y)有以下性质：
1.f(x,y)$\geq$≥ 0
2.$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=F(\infty,\infty)=1$∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1
3.设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为
P{(X,y)$\in$∈G}=$\int\int_{G}f(x,y)dxdy$∫∫G​f(x,y)dxdy
4.若f(x,y)在点(x,y)上连续，则有
$\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$∂x∂y∂2F(x,y)​=f(x,y)

边缘分布

条件分布

相互独立的随机变量

两个随机变量的函数的分布