矩阵论基础 1.5 Cramer定理

第五节 Cramer定理

设含有n 个未知量的n个线性方程构成的线性方程组为

(Ⅰ)

由未知数的系数组成的n阶行列式

称为n元线性方程组(Ⅰ)的系数行列式.

定理3 (Cramer定理) 如果线性方程组(Ⅰ)的系数行列式不等于零, 即

,

那么, 方程组(Ⅰ)有唯一解，且解可用行列式表示为

, , × × × , ,

其中D_j (j=1, 2, × × × , n)是把系数行列式D中第j列的元素a_1j, a_2j, × × × , a_nj对应地换为方程组的常数项b₁, b₂, × × × , b_n后所得到的n阶行列式, 即

.（j=1，2，…，n）

注意：Cramer定理中，

（1）D≠0；

（2）解是唯一的；

（3）唯一的解是

因此，求解线性方程组(Ⅰ)时，先求系数行列式D，当D≠0时，再求另外n个行列式D_j（j=1，2，…，n），然后便给出方程组(Ⅰ)的唯一解。

例17 求解线性方程组

.

解

,

,

,

,

于是得

, , , .

Cramer定理的逆否命题为：

定理4 线性方程组(Ⅰ)无解或解不唯一，则其系数行列式D=0

当线性方程组(Ⅰ)的常数项b₁=b₂=× × × =b_n=0时, 线性方程组(Ⅰ) 为

(Ⅱ)

叫做n元齐次线性方程组。相应地，线性方程组(Ⅰ)右端的常数项b₁, b₂, × × × , b_n不全为零时，线性方程组(Ⅰ)叫做n元非齐次线性方程组。

定理5 如果齐次线性方程组(Ⅱ)的系数行列式D¹0, 则齐次线性方程组(Ⅱ)只有零解（没有非零解）。

注意：线性方程组(Ⅱ)无论D是否为零，都有零解（解全为零），但D¹0时，只有唯一零解；D=0时，除零解外，还有其它的解，这个问题以后还会讨论。

例18 设齐次线性方程组

只有零解，求λ的值。

解：系数行列式

.