矩阵论基础 3.2初等方阵

第二节 初等方阵

 

定义3 由单位矩阵经过一次的初等变换得到的方阵称为初等方阵。

三个对行的初等变换对应着三个初等方阵。

（1）互换E的i,j两行所得矩阵，记为

（2）用任意k≠0去乘E的第i行所得矩阵，记为

（3）把E的第i行乘以k加于第j行所得矩阵，记为

同样，三个对列的初等变换也对应着三个初等矩阵，分别记为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

用初等方阵左乘（或右乘）任意矩阵，可达到对其进行同类型初等行（或列）变换一样的效果，现以任意3×4阶矩阵为例来说明这一点。

设

三个3阶行初等矩阵设为：

，

实现了A的第1，2行对换。

实现了A的第3行乘k

实现了A的第3行乘k加于第一行。

同样地，再设三个4阶列初等方阵为

，

则

实现了A的第2，3两列的对换。

实现了A的第2列乘k

实现了A的第1列乘k加于第3列。

由上面的例子可得下面重要定理。

定理1 设A为任意m×n阶矩阵，对A的行施以某种初等行变换的结果相当于用同种的m阶初等方阵去左乘A；对A的列施以某种初等列变换的结果相当于用同种的n阶初等方阵去右乘A。即为：

注意：左乘A_m×n的是m阶初等方阵，实现的是初等行变换；右乘A_m×n的是n阶初等方阵，实现的是初等列变换。

由定理1得下面的推论

推论 如果A经过若干次初等行变换得到B，那么必有若干个初等方阵E₁，E₂，…，E_k,使得B= E₁E₂…E_kA；

如果A经过若干次初等列变换得到B，那么必有若干个初等方阵C₁，C₂，…，C_l, 使得B=AC₁C₂…C_l，

如果A～B，那么必有有限个初等方阵E₁，E₂，…，E_k, C₁，C₂，…，C_l，使得B= E₁E₂…E_k AC₁C₂…C_l。

定理2 任何一个初等矩阵均有逆，且其逆为同一种类型的初等矩阵。

证明：

同理可证：

定理3 若A为可逆矩阵，则它恒为若干个初等方阵之积。

证明：因为A为可逆矩阵，所以A～E_n，由推论1可得：必有有限个初等方阵E₁，E₂，…，E_k, C₁，C₂，…，C_l，使得

E_n = E₁E₂…E_k AC₁C₂…C_l

再由定理2得：每个初等矩阵均可逆，于是

，

又也是初等方阵，所以得A恒等于若干个初等方阵之积。

根据定理1和定理3可得出一种求逆矩阵的方法。

因为A可逆，则A^-1也可逆，故有初等方阵L₁，L₂，…，L_r,使得

A^-1 =L₁L₂…L_r。

观察下面两个等式：

A^-1 A=L₁L₂…L_rA=E

A^-1 E=L₁L₂…L_rE= A^-1

第一式表明：经过若干次初等行变换可将A化为单位矩阵E；第二式表明：经过若干次同样的初等行变换可将E化为A^-1。

因此可先将n阶可逆方阵A与n阶单位阵E放在一起，得到一个n×2n阶矩阵，，再对其施以初等行变换，把子块A化为E，同时子块E化为A^-1。

这是常用的矩阵求逆的方法之一。

例3 已知矩阵，求矩阵A的逆。

解：对矩阵进行初等行变换

同样也可以利用初等列变换来求逆矩阵，这时对2n×n阶矩阵施以初等列变换，当把上半子块A化为E时，下半子块E就化为A^-1。

例4 求矩阵

解：对矩阵进行初等列变换

=