§3 二次曲线的切线和奇点
一 切线：
1、定义：若一直线l与二次曲线C交于二重合实点，或l整个在二次曲线C上，则称l
为C的切线。切线与C的公共点称为切点。
2、求法：
设（
，
）∈C，以
为切点的切线 l：
今确定X：Y
1°当（
，
），
（
，
）不全为0时，
若X：Y不是渐近方向，则l与C相切〈═〉l与C交于二重合实点
〈═〉△=[（
，
）X+
（
，
）Y]²-Φ（X，Y）F（
，
）=0
〈═〉（
，
）X+
（
，
）Y=0〈═〉X：Y=-
（
，
）：
（
，
）
若X：Y是渐近方向，则l与C相切〈═〉l处在C上〈═〉
（
，
）X+
（
，
）Y=0〈═〉X：Y=-
（
，
）：
（
，
）
从而切线l：
即 （
，
）（x-
）+
（
，
）（y-
）=0
（
，
）x+
（
，
）y-[
（
，
）
+
（
，
）
]=0
（
，
）x+
（
，
）y+
（
，
）=0
亦即
x+
（
y+
x）+
y+
（x+
）+
（y+
）+
=0 （*）
注：在（
，
）与
（
，
）不全为0时，（*）即为以
（
，
）为切点的切线方程。不难看出，若
（
，
）使
（
，
），
（
，
）不全为0，则要求以
为切点的切线，只需要在C的方程中，以
x ，
，
y ，
，
替换x² xy y² x y
即可
2°当（
，
）=
（
，
）=0时，
对过
且沿非渐近方向的直线l：
，
△=[（
，
）X+
（
，
）Y]²-Φ（X，Y）F（
，
）=0
∴l是切线；而对任意过且沿渐近方向的直线l：
Φ（X，Y）=（
，
）X+
（
，
）Y=F（
，
）=0，
∴l整个在曲线 即l也是切线
可见，若曲线C上一点（
，
）使
（
，y。）=
（
，
）=0，则过
的任一直线均是C的切线。为使得过C上任一点只有唯一切线，在这种情形下，通常只取过
且沿渐近方向的直线作为C的切线。
二 奇点：
1、定义：二次曲线上坐标满足的点称为奇点。二次曲线上的非奇点又称为正常点。
可见：
1°一点（
，
）为奇点〈═〉
〈═〉
2°奇点必是中心，但中心未必是奇点，从而无心曲线没有奇点。
3°在奇点处，曲线有沿渐近方向的切线；而在正常点处，曲线有沿
X：Y=-（
，
）：
（
，
）的切线，从而在正常点处，切线是唯一的
2、性质：
1°二次曲线有奇点的必要条件是=0
事实上，若二次曲线有奇点（
，
），则
∴方程组 有非0解（
，
，1）
∴=0
思考：=0是否为二次曲线有奇点的充分条件？为什么？
2°二次曲线有奇点的充要条件是其为有心二次曲线，其中心全在二次曲线上，
事实上"〈═"显然
"═〉"设二次曲线F（x，y）=0有奇点。
若曲线为中心二次曲线，则这唯一中心也是奇点
∴中心在曲线上；
若曲线为线心曲线，因它有奇点 ∴方程组
有解
同解
同解
有解
而
：
=
：
∴
：
=
:
：
=
：
=
：
x+
y+
=0
∴中心全是奇点，从而所有中心都在曲线上。
例：求二次曲线y²-4x-4y=0的切线l
（i）l过点（3，-2）；
（ii）l过点（-1，0）。
解：（i）易验证点（3，-2）在曲线上，且该曲线上无奇点，∴切线方程为
-2y-2（y-2）-2（x+3）=0
即 x+2y+1=0
（ii）易验证（-1，0）不在曲线上，
法一：设过（-1，0）的切线l与曲线切于（
，
）
则 l：y-2（y+
）-2（x+
）=0
而（-1，0）∈l ∴-2-2（
-1）=0
即 +
-1=0
又 ²-4
-4
=0
∴=-1，3
=2，-2 ∴切线l：2y-2（y+2）-2（x-1）=0
或-2y-2（y-2）-2（x+3）=0 即
x+1=0或x+2y+1=0
法二：
设过（-1，0）饿切线l： 则
△=[（-1，0）X+
（-1，0）Y]²-Φ（X，Y）F（-1，0）=0
即 [-2X-2Y]²-4Y²=0
亦即X²+2XY=0 ∴X=0或X=-2Y
∴X：Y=0：1 或 X：Y=-2：1 ∴ l： 或 l：
法三：设切线l： 则 X：Y =（x+1）：y
而△=[（-1，0）X+
（-1，1）Y]²-Φ（X，Y）F（-1，0）=0
∴[（-1，0）（x+1）+
（-1，0）y]²-4y²=0
即[-1（x+1）-2y]²-4y²=0
亦即（x+y+1）²-y²=0 ∴x+1=0或 x+2y+1=0
三 二次曲线的法线：
定义：设二次曲线F（x，y）=0在处存在切线，称过
且垂直于切线的直线为曲
线在的法线。
求法：若（
，
）是二次曲线F（x，y）上的正常点，则
法线 l：