§5 二次曲线的主直径
一 定义：
设X：Y为二次曲线F（x,y）=0的一非渐近方向，若共轭于该方向的直径：
X（x,y）+Y
（x,y）=0 （1）
与方向X：Y垂直，则称这直径为二次曲线的主直径；而直径（1）的方向及方向X：Y均称为二次曲线的主方向。
注：1°主直径事实上是二次曲线的对称轴，简称为二次曲线的轴，轴与曲线的交点称为曲线的顶点。
2°可以证明：一方向X：Y为主方向〈═〉X:Y与其共轭方向X′：Y′垂直。
二 求法：
1 主方向的求法：
X：Y为主方向〈═〉X：Y与其共轭方向X′：Y′=-（X+
Y）：（
X+
Y）
垂直〈═〉XX′+YY′=0 〈═〉X′：Y′=-Y：X
〈═〉-（X+
Y）：（
X+
Y）=-Y：X
〈═〉X：Y=（X+
Y）：（
X+
Y）
〈═〉 〈═〉
（2）
∵X，Y不全为0， ∴=0
即 λ²-+
=0 （3）
可见，若求二次曲线F（x,y）=0的主方向X：Y，只需先求方程（3）的根，
，
再将代λ（2），并解此方程组，从其非0解（X：Y），即可得到主方向X：Y。
2 主直径的求法：
主方向求出以后，若所求的方向X：Y为非渐近主方向，则X（x,y）+Y
（x,y）=0便是主直径；若所求主方向X：Y不再是渐近方向，则该曲线不可能是中心二次曲线（中心曲线的渐近方向只能与其自身共轭）从而-Y：X不再是渐近方向。
此时 -Y（（x,y）+X
（x,y））=0
便是该曲线唯一的主直径
三 特征方程与特征根：
1定义：方程（3）称为二次曲线的特征方程，其根称为曲线的特征根。
2 性质：
1°二次曲线的特征根全为实数。
事实上，△=²-4
=（
-
）²+4
²≥0
2°二次曲线的特征根不全为0
事实上，若不然，则=
=0 即
+
=
-
²=0
∴-²-
²=0 ∴
=
=
=0 这不可能
3 利用特征根研究主方向和主直径
定理1：主方向X：Y为渐近主方向〈═〉对应于该方向的特征根为0。
证：设主方向X：Y对应的特征根为λ，则
X+
Y=λX
X+
Y=λY
∴Φ（X，Y）=（X+
Y）X+（
X+
Y）Y=λ（X²+Y²）
∵X，Y全为实数，且不全为0， ∴Φ（X，Y）=0〈═〉λ=0
定理2：
（i）中心二次曲线至少有两条主直径，具体地，圆的任一实直径均为主直径，非圆的中心曲线仅有两条主直径。
（ii）非中心曲线仅有一条主直径
证明：（i）若二次曲线F（x,y）=0为圆，则=
≠0，
=0，从而特征根
=
=
，
=0，则此时（2）被任意实方向X：Y所满足，即任意实方向均为主方向，从而圆的任意实直径均为主直径
对于非圆的中心二次曲线，△=（-
）²+4
²>0
从而曲线有不等非0实根λ1，λ2，这二实根确定的主方向为
：
=
：（λ1-
）=（λ1-
）：
：
=
：（λ2-
）=（λ2-
）：
不难证明这二主方向垂直，它们确定的主直径为
（x,y）+
（x,y）=0——沿
：
及（x,y）+
（x,y）=0——沿
：
这是仅有二主直径
（ii）对于非中心曲线，=0，故其特征根λ1=
+
≠0，λ=0
∴曲线仅有一非渐近主方向X：Y，故得一主直径
X（x,y）+Y
（x,y）=0
这亦是仅有的一主直径