《视觉SLAM十四讲》学习笔记-指数与对数映射

1. SO(3)的指数映射：so(3)$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$实际上是由旋转向量组成的空间，通过指数映射可将任意一个向量对应到一个位于SO(3)的矩阵。

2. 两个重要的公式：
   

   Rexp(θα∧)=cosθI+(1−cosθ)n⃗ n⃗ ⊤+sinθn⃗ ∧=cosθI+(1−cosθ)α⃗ α⃗ ⊤+sinθα⃗ ∧$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\overrightarrow{n}{\overrightarrow{n}}^{\mathrm{\top }}+\sin \theta {\overrightarrow{n}}^{\wedge }\\ \exp (\theta {\alpha }^{\wedge })& =\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\overrightarrow{\alpha }{\overrightarrow{\alpha }}^{\mathrm{\top }}+\sin \theta {\overrightarrow{\alpha }}^{\wedge }\end{array}$$
   
   其中第一个为罗德里格斯公式。如果已定义了对数映射，则可以通过下式把SO(3)的元素对应到so(3)$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$的向量中：
   
   Φ=ln(R)∨=(∑n=0∞(−1)nn+1(R−I)n+1)∨$$\mathrm{\Phi }=\ln (\mathbf{R}{)}^{\vee }={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}(\mathbf{R}-\mathbf{I}{)}^{n+1}\right)}^{\vee }$$

下图给出了SO(3); SE(3); so(3); se(3) 的对应关系：