例题：求函数
的表达式 并讨论函数的连续性。
分析解答：求表达式就是要求数列的极限。
（这是因为，自然数列在
时 和 函数
同时趋向 于无穷大，故函数和子列有同样的极限。即是所给极限是对应函数的子列。数列 是 对应函数 自变量 的一些离散点构成数列（子列）
函数列是函数的子列。且函数列和函数有相同的极限。但可以推广，不仅限于自变量的离散点，而只要在数列的在n趋向于无穷大时，数列收敛于，自变量的趋向即可。）
令
1.当 ,
即是 也就是
2.当 ,
2.1 若
2.2
综上， ,第一问得证 。
第二问：有表达式可以知道函数在个分段点出连续 ，因而在整个区间上连续 。
总结：组要在于求数列极限，数列极限可以转化为函数极限，然后根据x的不同的取值范围，讨论函数的极限；从而确定出不同区间上的f（x） 的表达式。
例题：设函数 在
上连续，
是
的一个点列，求极限
解答：令 ,则函数
在
上连续.不妨设点
把区间
平均分成n份
则根据定积分的定义有
原极限
当不是平均分的时候 ，取 ,记 ：
类似地， ，这是由极限的保号性质确定的。
原极限
由极限的夹逼准则可得原极限为 1 。
总结：1...关键是根据定积分的定义，写出定积分的定义式；其中注意定积分定义中两个无论：1 。无论区间怎么划分 。2.无论定义中的中值 如何的选取 。必须理解这两个"无论" 。
2. 定积分是一个和的形式。然后根据区间的最大最小 ，进行缩放操作，然后根据极限的夹逼准则下结论即可
解答：
原极限
取区间为 ,
原极限
总结：本例通过取对数让指数变成了区间长度，让乘积变成了求和 ，进而把极限变成了积分和 ，然后取合适的区间，和合适的 ，合适的函数。然后利用定积分来求极限。。
通过在二次根式下提取一个n平方，造成了区间平均分的 德尔塔 x ，进而成为积分和 ！
分母提取一个n方，然后，把成绩写成 乘积的形式，构造了 区间增量 和函数值序列的乘积和 ，称为积分和，进而求极限。
总结：积分区间，区间增量 ，和中值的取法 。明确积分函数是什么 。 这里积分函数是
本例：由于和在根号低下 ，怎么都不能构成积分和的形式 ，但是 ，通过缩放，把和的形式转化成积的形式 ，然后再用 取对数的方法转化成和的形式，然后再构造积分和 ，从而求得极限 。这里缩放的一句是极限的 夹逼准则
例题：函数
i=1
i=2
i=3
.................................................
i=n-1
i=n
原积分
后边一项是p级数 ，p=2 的情形
https://wenku.baidu.com/view/9ad6445848d7c1c708a145f4.html
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更多定积分求极限的例题 ，请查看这里 ：https://wenku.baidu.com/view/aad329b2b9f67c1cfad6195f312b3169a451eac3.html
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已知 二阶可导，且
,
证明：
1.
2 若 ，证明
解答：
令,则
结合已知条件，有 因此
为凹函数，根据定义有 。
2小题：
分析 ，不等式中含所有指数， 取对数 是一种化简运算的方式
要证 ，由于
，只要证
；只要证
令
二阶可导 ，从而 ，函数
连续可导 ；
容易证明 是连续可导函数且
；根据微分中值定理有 ，
在 0 和x 间取值，于是，
当x> 0 ； 当 x < 0
,因此
是极小值，同时也是最小值。
因而 即是
也即
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求极限：
解答 ：
提取公因式 ，构造 常数因子 和 等价无穷小因子 。
替换无穷小，并使用 诺必达法则就得到答案 。
误区：一开始不提取公因式，提取常数极限因子 ，和 无穷小因子 ，化简； 直接使用 诺必达法则，将导致计算非常的复杂，几乎无法得到正确的结论 。