第二节 方阵的特征值与特征向量
一 .数学概念
1 .特征值与特征向量：
设A为n阶方阵，若数 和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值
的特征向量。
2 .特征多项式
3 .特征方程
二 .原理，公式和法则
1 .求特征值与特征向量的方法：
(1) (实用于抽象矩阵)；
(2) (实用于具体矩阵)；
(3) (主要用于求特征向量)。
2 .主要公式
设 是A的特征值，x是A的对应于特征值
所对应的特征向量，则有
注： 特征值与特征向量指A可逆时。
3 .特征值与特征向量的性质
设 是A的n个特征值，则有
1)
2)
3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。
4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。
5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。
三 .重点、难点分析
本节的重点是理解特征值也特征向量的概念，求A的特征值与特征向量，掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明；求方阵A特征值与特征向量的各种方法。
四 .典型例题
例1 .求方阵
的特征值和特征向量。
解： A的特征多项式为
，（这里的计算是顺乘减去逆乘，使最后的结果为0）
所以A的特征值为 。
当 时，解方程 (A-2E)x=0。由
，（这里得到后面的方法的原则是：尽可能的减少元素，用某一行乘以一个参数和另外两行相加，使另外两行的元素尽可能的为0，这里x3为1，是为了避免p1的模为0，因为x3的系数为0，所以x3可以是任意的数）
得基础解系
，
所以 是对应于
的全部特征向量。
当 ，解方程(A-E)x=0。由
得基础解系
所以 是对应于
的全部特征向量。
例2 .求矩阵
的特征值和特征向量。
解
所以A的特征值为 。
当 时，解方程(A+E)x=0。由
，
得基础解系
，
所以 是对应于
的全部特征向量。
当 时，解方程(A-2E)x=0。由
，
得基础解系
，
所以对应于 的全部特征向量为
。
以上例1、例2都有二重特征值，而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量，例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量，这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的，希望引起同学们的注意。
例3 .设3阶方阵A满足 ，且矩阵A的秩为2，求A的特征值。
解：设 是A的特征值，x是A的关于
所对应的特征向量，则有
，在
是两端右乘x，得
即
即
由于 ，所以
得
又A的秩为2，得A的特征值为
解答：
再问： 谢谢。但是怎么确定α1、α2分别取1和0的呢？
再答： 这种题有一个固定的套路，当你求出x1.x2.x3的函数关系时，一般就是分别取（1,0,x3）和（0,1,x3）
再问：
再问： 谢谢。那这个题的基础解系咋求得呢？
再答：
再问： 谢谢。这种情况都令x1=1吗？
再答： 其实怎么取值都无所谓，只要能让等式成立就行，这么取是因为，假如你让x2=1那么x3=-1/2，分式比较麻烦，尽量让得出的值都是整数最好
再问： 比如这种情况为什么是（2，1，2）T呢？
再问：
再答：
再答： 这种题答案不是唯一的
再答：
