1.5 极限的存在准则和两个重要极限

本篇为极限部分最为重要的重点，极限的存在准则和两个重要极限

一、极限的存在准则

• 准则1：通敛定理（夹逼定理）

  • 数列应用
    
    通敛定理求数列极限的两件事：
  1. 找出一个比原数列小的数列，找出一个比原数列大的数列
  2. 两个数列求极限的值相同
  • 函数应用
    

• 准则2：单调有界的数列必有极限
  注解：
  ①{a_n}有界，充要条件是{a_n}有上界，并且{a_n}有下界
  ②当{a_n}单调递增时，{a_n}是有天然的下界的，此时如果{a_n}有上界，则称lima_n存在；如果无上界，则称lima_n不存在。
  ③当{a_n}单调递减时，{a_n}是有天然的上界的，此时如果{a_n}有下界，则称lima_n存在；如果无下界，则称lima_n不存在。

二、两个重要极限

（一）

证明：设0 < x < π/2，做单位圆O如下图


注解： 此重要极限应用时要注意两点：1.x与sinx中的x保持一致；2.x趋于0时分母趋于0

例题

（二）

证明

截止到这里，证明了数列{a_n}的极限是存在的，以目前掌握的知识无法求解极限的值，所以这里直接给出极限值为e 记住这个重要极限以便使用。
注解：

例题

总结

本篇内容为极限存在的准则（夹逼定理和单调函数的有界与极限存在的关系），并依据极限存在的准则推导出两个重要极限。

预：无穷小的比较