常见的具体函数对应的抽象函数

前言

总结这样的内容，有助于帮助我们依托具体函数来理解其对应的抽象函数，以及抽象函数所对应的运算。

对照表

抽象函数表达式	对应的特殊函数模型
①\(f(x)+f(y)=f(x+y)\)； ②\(f(x)-f(y)=f(x-y)\)；	一次或正比例函数\(y=f(x)=kx+b\)(\(k\neq 0\))
①\(f(x)\cdot f(y)=f(x\cdot y)\)； ②\(\cfrac{f(x)}{f(y)}\)\(=f(\cfrac{x}{y})\)；	幂函数\(f(x)=x^a\)
①\(f(x)\cdot f(y)=f(x＋y)\)； ②\(\cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)\)；	指数函数\(f(x)=a^x\)，(\(a>0\)，\(a\neq 1\))
①\(f(x)+f(y)=f(x\cdot y)\)； ②\(f(x)-f(y)=\)\(f(\cfrac{x}{y})\)；	对数函数\(f(x)=log_a^\;x\)，(\(a>0\)，\(a\neq 1\))
①\(h(x+y)=h(x)g(y)+g(x)h(y)\)； ②\(f(x)+f(y)=2f(\cfrac{x+y}{2})f(\cfrac{x-y}{2})\)；	三角函数\(h(x)=\sin x\)，\(g(x)=\cos x\)，\(f(x)=\cos x\)
\(f(x+y)=\cfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\)；	正切函数\(y=\tan x\)

相关问题

【博友提问】对于函数 \(f(x)+f(y)=2f(\cfrac{x+y}{2})f(\cfrac{x-y}{2})\) ，为什么要构造余弦函数？

解析：设 \(\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}=m\\\frac{x-y}{2}=n\end{array}\right.\) ，解得 \(\left\{\begin{array}{l}x=m+n\\y=m-n\end{array}\right.\)

代入已知，得到 \(f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)\)

比照公式，\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\)，

故要构造 \(f(x)=\cos x\).