引用部分
定义
辛普森积分法就是在积分区间[a,b]上去找三个点a、b和m=(a+b)/2,计算其原函数的在此处的值,然后用抛物线来拟合原函数。
正文
- Simpson积分公式
用途:来求一个函数的积分的近似值，用于面积计算等精度要求不是特别苛刻的地方。
其实它就是用一个二次函数曲线不断拟合逼近原函数，然后求得原函数的近似值。
- 公式说明:
前置：)。
在平面直角坐标系里，由
)
下面给出简单的证明:
令
)+ 6 × C )
展开化简整理得：
)2 + B × x 2 + C + 4 × A × ( x 2 + x 1 2 ) 2 )
将其组合成完全平方式(配方)后
))
于是我们就得到了simpson积分公式
)]
在实际计算中
)]
代码：
double simpson(double l,double r){
return (r-l)*(f(l)+4*f((l+r)/2)+f(r))/6;
}自适应辛普森积分法
- 那么实际程序该如何实现辛普森积分求积呢?
我们如果要求)
用如下公式:
)d x
其中
但是因为是浮点数(小数),那么递归多少层，在什么时候返回值结束递归呢?
我们容易知道如果递归到
- 自适应法
自适应法，就是让程序根据实际情况决定如何运行执行操作。自己随便下的定义而已
这里我们就要用自适应法来解决这个问题啦，让程序自己去决定递归层数，而且又保证精度。
说的很高深，其实很简单。还是比较难吧
- 自动化控制区间分割的大小。
实际操作:二分递归，当满足精度就计算返回值，结束递归。
伪代码:
function(l,r,eps,ans):
mid=(l+r)/2;
lval=左边的值,rval=右边的值;
if (满足精度) return 答案;
eps/=2;
else return 左边递归+右边递归;注意，这里的
代码:
double asr(double l,double r,double eps,double ans){
double mid=(l+r)/2;
double lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
if(fabs(lval+rval-ans)<=15*eps) return lval+rval+(lval+rval-ans)/15;
return asr(l,mid,eps/2,lval)+asr(mid,r,eps/2,rval);
}
double asme(double a,double b,double eps){
return asr(a,b,eps,simpson(a,b));
}- 模板1【模板】自适应辛普森法1
代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
const db eps=1e-7;
db a,b,c,d,L,R;
db f(db x){return (c*x+d)/(a*x+b);}
db simpson(db l,db r){return (f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))*(r-l)/6;}
db asr(db l,db r,db exps,db val){
db mid=(l+r)/2;
db lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
if(fabs(lval+rval-val)<=15*exps){return lval+rval+(lval+rval-val)/15;}
return asr(l,mid,exps/2,lval)+asr(mid,r,exps/2,rval);
}
db asme(db l,db r,db exps){return asr(l,r,exps,simpson(l,r));}
int main(){
scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R);
printf("%lf\n",asme(L,R,eps));
return 0;
}- 模板2【模板】自适应辛普森法2
代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
const db inf=30;
const db eps=1e-7,zero=1e-10;
db a;
db f(db x){return pow(x,a/x-x);}
db simpson(db l,db r){return (f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))*(r-l)/6;}
db asr(db l,db r,db exps,db val){
db mid=(l+r)/2;
db lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
if(fabs(lval+rval-val)<=15*exps) return lval+rval+(lval+rval-val)/15;
return asr(l,mid,exps/2,lval)+asr(mid,r,exps/2,rval);
}
db asme(db l,db r,db exps){return asr(l,r,exps,simpson(l,r));}
int main(){
scanf("%lf",&a);
if(a<0)puts("orz");
else printf("%.5lf\n",asme(zero,inf,eps));
return 0;
}
这个虽然求的是不定积分但是，不要被吓到了，因为当
然后当
其他题目[NOI2005]月下柠檬树
- simpson的其他用途:
和扫描线结合求圆面积并和其他不规则图形面积等。
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