这是2020的最后一篇博客，对今天数据结构小测的一道题总结一下。
题目：给定顶点个数n和无向图的邻接矩阵bool m[graph_size][graph_size]，写出判断是否为无环连通图的函数bool Isconnectedacyclic()。
上午写的时候只想到深搜/广搜，下午听老师讲了一下，想到了其他方法，这里总结三种，如有错误请指正。
1.深搜/广搜
本来我是打算写深搜的，但由于给定的函数没有参数，懒得再写一个函数了。深搜应该是比较直接的方法，这里不多赘述。
而广搜比深搜麻烦的一点是新加入的点要考虑父节点，从而避免重复访问。这里有两种方法：一是对新加入的点记录父节点，在对边遍历时遇到父节点则跳过；二是利用邻接矩阵对边访问的特性，直接删掉用过的边和对称的边。下面给出第二种的代码：
1 bool Isconnectedacyclic() 2 { 3 vector<bool>vit(n,false); 4 queue<int>que; 5 bool flag=false; 6 que.push(0); 7 vit[0]=true; 8 while(!que.empty()) 9 { 10 int p=que.front(); 11 que.pop(); 12 for(int i=0;i<graph_size;++i) 13 { 14 if(m[p][i]) 15 { 16 if(vit[i])flag=true; 17 else 18 { 19 vit[i]=true; 20 que.push(i); 21 } 22 m[p][i]=m[i][p]=false; //删边 23 } 24 } 25 } 26 if(flag)return false; //有回路 27 for(int i=0;i<n;++i) 28 { 29 if(!vit[i])return false; //非联通图 30 } 31 return true; 32 }
2.并查集：
其实跟kruskal算法基本一样，对所有的边遍历，如果两个顶点在同一集合说明有环，否则将他们合并。如果有两个以上连通分支说明非连通图。
下面是代码：
k) 3 { 4 if(f[k]==k)return k; 5 return f[k]=find(f[k]); 6 } 7 bool Isconnectedacyclic() 8 { 9 for(int i=0;i<n;++i)f[i]=i; 10 for(int i=0;i<graph_size;++i) 11 { 12 for(int j=i+1;j<graph_size;++j) 13 { 14 if(m[i][j]) 15 { 16 int fi=find(i),fj=find(j); 17 if(fi==fj)return false; 18 f[fi]=fj; 19 } 20 } 21 } 22 int cnt=0; 23 for(int i=0;i<n;++i) 24 { 25 if(f[i]==i)cnt++; 26 } 27 return cnt==1;
28 }
3.树的性质：
写的时候没有想起（好不应该），一个无环连通图正是一棵树。根据树的性质，边数m=顶点数n -1，我们统计总共有多少条边，如果m<n-1说明非连通；如果m>n-1说明必定有环；如果m==n-1，还要对图进行一次遍历，判断是否为连通图。
以下是代码：
1 bool Isconnectedacyclic() 2 { 3 int cnt=0; 4 for(int i=0;i<graph_size;++i) 5 { 6 for(int j=i+1;j<graph_size;++j) 7 { 8 if(m[i][j])cnt++; 9 } 10 } 11 if(cnt!=n-1)return false; 12 vector<bool>vit(n,false); 13 queue<int>que; 14 que.push(0); 15 vit[0]=true; 16 while(!que.empty()) 17 { 18 int p=que.front(); 19 que.pop(); 20 for(int i=0;i<graph_size;++i) 21 { 22 if(m[p][i]&&!vit[i]) 23 { 24 vit[i]=true; 25 que.push(i); 26 } 27 } 28 } 29 for(int i=0;i<n;++i) 30 { 31 if(!vit[i])return false; 32 } 33 return true; 34 }