条件期望与重期望

条件期望与重期望

条件期望的定义：

\(E(x|y)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x|y)dx\)（连续）

\(E(x|y)=\sum\limits_ix_i\rho(X=x_i|Y=y_i)\)（离散）

重期望的性质

\(1.E(E(g(x)|Y))=\int_{-\infty}^{\infty}E(E(g(x)|Y))f_{Y}(y)dy\)

=\(\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x|y)dx]f_{Y}(y)dy\)

=\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x|y)f_{Y}(y)dxdy\)

=\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x|y)dxdy\)

=\(E(g(x))\)

\(2.E(h(y)g(x)|Y)\)