若存在$x_1\in (0,+\infty),x_2\in\textbf{R},\;$使得$f(x_1)=g(x_2)=k(k<0)$成立$,\;\;$
则$(\frac{x_2}{x_1})^2\text{e}^k$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}.$
该题可以化归为：\(\frac{\ln x_1}{x_1}=x_2 \text{e}^{-x_2}=k(k<0)\)
\(\Rightarrow \frac{\ln\frac{1}{ x_1}}{x_1}=-x_2 \text{e}^{-x_2}=-k(k<0)\)
\(\Rightarrow \ln(\ln\frac{1}{ x_1})+\ln(\frac{1}{x_1})=\ln(-x_2)+ (-x_2)=\ln(-k)(k<0)\)
构造函数\(f(x)=\ln(x)+x\)，
\(\Rightarrow \ln\frac{1}{ x_1}=-x_2 \Rightarrow \ln x_1=x_2\)
\(\Rightarrow (\frac{x_2}{ x_1})^2\text{e}^k=(\frac{\ln x_1}{ x_1})^2\text{e}^{\frac{\ln x_1}{ x_1}}\)
构造函数\(y=x^2\text{e}^x\)，其余略。