斐波那契数列算法逐层优化（C++）

假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永远不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子？

问题分析

太常见的题目了，就不一一每月举例分析了。
这个数列有明显的特点，从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生的兔子正好是上上月的兔子数。因此，易得
当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数
斐波那契数列如下：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……
递归表达式：
$F(n) = \begin{cases} 1, & \text{n=1} \\[2ex] 1, & \text{n=2} \\[2ex] F(n-1)+F(n-2), & \text{n>2} \end{cases}$

算法1（按照递归表达式设计）：

long long Fib1(int n)
{
	if( n<1 ) return -1;
	if( n==1 || n==2 ) return 1;
	return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);
}

算法复杂度分析：
假设T(n)表示计算Fib1(n)所需要的基本操作次数，那么：
n=1时，T(n)=1；
n=2时，T(n)=1；
n=3时，T(n)=3；//调用Fib1(2)、Fib1(1)和执行一次加法运算Fib1(2)+Fib1(1)
n>2时，T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1；

递归表达式和时间复杂度T(n)之间的关系如下：
$F(n) = \begin{cases} 1, & \text{n=1,T(n)=1} \\[2ex] 1, & \text{n=2,T(n)=1} \\[2ex] F(n-1)+F(n-2), & \text{n>2,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1} \end{cases}$
由此可得：T(n)>=F(n)

又斐波那契数列通项为：
$F(n)=\frac {1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$

当n趋近于无穷时， $F(n)\approx\frac {1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$

发现这里的时间复杂度属于爆炸增量函数

算法2（记录前两项的值）：

long long Fib2(int n)
{
	if( n<1 ) return -1;
	int * a = new int[n+1];//定义一个长度为n+1的数组，0空间未使用
	a[1] = 1;
	a[2] = 1;
	for(int i=3;i<=n;++i)
		a[i] = a[i-1]+a[i-2];
	return a[n];
}

算法复杂度分析：
时间复杂度为O(n)，从原来的指数阶降到了多项式阶
空间复杂度为O(n)

但我们需要得到第n个斐波那契数，中间结果只是为了下一次使用，根本不需要记录。因此，我们可以在改进算法。

算法3（迭代法）：

long long Fib3(int n)
{
	int s1,s2;
	if( n<1 ) return -1;
	if( n==1 || n==2 ) return 1;
	s1 = 1;
	s2 = 1;
	for(int i=3;i<=n;++i)
	{
		s2 += s1;//辗转相加法
		s1 = s2-s1;//记录前一项
	}
	return s2;
}

初始值： $s_1=1;s_2=1;$	当前解	记录前一项
i=3时	$s_2=s_1+s_2=2$	$s_1=s_2-s_1=1$
i=4时	$s_2=s_1+s_2=3$	$s_1=s_2-s_1=2$
i=5时	$s_2=s_1+s_2=5$	$s_1=s_2-s_1=3$
i=6时	$s_2=s_1+s_2=8$	$s_1=s_2-s_1=5$
……	……	……

算法使用了若干个辅助变量，迭代辗转相加，每次记录前一项，时间复杂度为O(n)，但空间复杂度降到了O(1)。

但其实斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶O(logn)。

算法4（利用矩阵的乘法）：

数学基础推导先写在这里，由于博主本人代码能力还不过关，后期会补上矩阵代码：
$\begin{pmatrix} f(n) \\ f(n-1) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n-1) \\ f(n-2) \\ \end{pmatrix} =……= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^{n-2} \begin{pmatrix} f(2) \\ f(1) \\ \end{pmatrix}$
计算f(n)即计算 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^{n-2}$ ，而计算矩阵的(n-2)次方，又可以进行分解，即计算 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^\frac{n-2}{2}$ 的平方，逐步分解下去；由于折半计算矩阵的次方，因而时间复杂度为O(logn) 。

参考文献：
[1] 陈小玉.趣学算法[M].北京：人民邮电出版社，2017：11-14.
[2] beautyofmath.关于斐波那契数列三种解法及时间复杂度分析[EB/OL].https://blog.csdn.net/beautyofmath/article/details/48184331, 2015-09-02/2019-02-01.
[2] ECJTU_ACM_余伟伟.斐波那契数列算法及时间复杂度分析[EB/OL].https://blog.csdn.net/ecjtu_yuweiwei/article/details/47282457, 2015-08-04/2019-02-01.