图像变换是许多图像处理技术的基础，为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一个空间，并利用这些空间的特有性质更方便地进行一些处理，最后再变换为图像空间以得到所需效果。近年来，众多的图像变换方法不断涌现，从古老的傅里叶变换到余弦变换，直至小波变换，这些数学模型都对图像处理技术的发展有着不可磨灭的贡献。本篇随笔主要介绍离散傅里叶变换（关于傅里叶变换原理的更加详尽的介绍请看《傅里叶变换与图像处理》）。
离散傅里叶变换的原理
对一张图像使用傅里叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分，也就是将图像从空间域（spatial domain）转换到频率域（frequency domain）。二维图像的傅里叶变换的数学公式：
其中的f是空间域值，F是频率域值。转换后频率域值是复数。显示傅里叶变换之后的结果需要使用实数图像（real image）加虚数图像（complex image），或者幅度图像（magitude image）加相位图像（phase image）的形式。在实际的图像处理过程中，仅仅使用了幅度图像，因为幅度图像包含了原图像的几乎所有处理所需的集合信息。在频域里面，对于一幅图像，高频部分代表了图像的细节、纹理信息；低频部分代表了图像的轮廓信息。如果对一幅精细图像使用低通滤波器，那么滤波后的结果就只剩下轮廓了。这与信号处理的基本思想是相通的。如果图像受到的噪声恰好位于某个特定的“频率”范围内，则可以通过滤波器来恢复原来的图像。傅里叶变换在图像处理中可以做到图像增强与图像去噪、图像分割之边缘检测、图像的特征提取、图像压缩等。
OpenCV傅里叶变换所用函数
dft()函数的作用是对一维或二维浮点数数组进行正向或反向离散傅里叶变换。关于这个函数的更详尽的介绍请看OpenCV的官方文档。
C++ : void dft(InputArray src, OutputArray dst, int flags = 0, int nonzeroRows = 0);
getOptimalDFTSize()函数返回给定向量尺寸的傅里叶最优尺寸大小。为了提高离散傅里叶变换的运行速度，需要扩充退选哪个，而具体扩充多少，就由这个函数计算得到。
C++ : int getOptimalDFTSize(int vecsize);
copyMakeBorder()函数的作用是扩充图像边界。
C++ : void copyMakeBorder(InputArray src, OutputArray dst,
int top, int bottom, int left, int right,
int borderType, const Scalar& value = Scalar() );
magnitude()函数用于计算二维矢量的幅值。
C++ : void magnitude(InputArray x, InputArray y, OutputArray magnitude);
log()函数用于计算每个数组元素绝对值的自然对数。
C++ : void log(InputArray src, OutputArray dst);
其原理：dst(I)={x|log|src(I)| if src(I)≠0, C otherwise}；
normalize()函数用于矩阵的归一化。
C++ : void normalize( InputArray src, InputOutputArray dst, double alpha = 1, double beta = 0,
int norm_type = NORM_L2, int dtype = -1, InputArray mask = noArray());
演示示例：
#include "opencv2/core/core.hpp" #include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp" #include "opencv2/highgui/highgui.hpp" #include <iostream> using namespace cv; int main() { //【1】以灰度模式读取原始图像并显示 Mat srcImage = imread("1.png",0); if (!srcImage.data) { printf("读取图片错误，请确定目录下是否有imread函数指定图片存在~！ \n"); return false; } imshow("原始图像", srcImage); //【2】将输入图像延扩到最佳的尺寸，边界用0补充 int m = getOptimalDFTSize(srcImage.rows); int n = getOptimalDFTSize(srcImage.cols); //将添加的像素初始化为0. Mat padded; copyMakeBorder(srcImage, padded, 0, m - srcImage.rows, 0, n - srcImage.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0)); //【3】为傅立叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间。 //将planes数组组合合并成一个多通道的数组complexI Mat planes[] = { Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) }; Mat complexI; merge(planes, 2, complexI); //【4】进行就地离散傅里叶变换 dft(complexI, complexI); //【5】将复数转换为幅值，即=> log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2)) split(complexI, planes); // 将多通道数组complexI分离成几个单通道数组，planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I)) magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude Mat magnitudeImage = planes[0]; //【6】进行对数尺度(logarithmic scale)缩放 magnitudeImage += Scalar::all(1); log(magnitudeImage, magnitudeImage);//求自然对数 //【8】归一化，用0到1之间的浮点值将矩阵变换为可视的图像格式 //此句代码的OpenCV2版为： //normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, CV_MINMAX); //此句代码的OpenCV3版为: normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, NORM_MINMAX); // 是这里的问题吗？ //【9】显示效果图 imshow("频谱幅值", magnitudeImage); //【7】剪切和重分布幅度图象限 //若有奇数行或奇数列，进行频谱裁剪 magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0, 0, magnitudeImage.cols & -2, magnitudeImage.rows & -2)); //重新排列傅立叶图像中的象限，使得原点位于图像中心 int cx = magnitudeImage.cols / 2; int cy = magnitudeImage.rows / 2; Mat q0(magnitudeImage, Rect(0, 0, cx, cy)); // ROI区域的左上 Mat q1(magnitudeImage, Rect(cx, 0, cx, cy)); // ROI区域的右上 Mat q2(magnitudeImage, Rect(0, cy, cx, cy)); // ROI区域的左下 Mat q3(magnitudeImage, Rect(cx, cy, cx, cy)); // ROI区域的右下 //交换象限（左上与右下进行交换） Mat tmp; q0.copyTo(tmp); q3.copyTo(q0); tmp.copyTo(q3); //交换象限（右上与左下进行交换） q1.copyTo(tmp); q2.copyTo(q1); tmp.copyTo(q2); //【9】显示效果图 imshow("原点频谱幅值", magnitudeImage); waitKey(); return 0; }