计数dp
计数类的$dp$没做过几个,所以之前都放到"思维"标签下了,后来发现原来这属于一类问题啊...搬过来了.
管道取珠:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566
题意概述:
有这样的两根管道接在一起,上边有$n$个珠子,下边有$m$个,每次可以从上或下取出一个(向右滑出去),只会有两种颜色的珠子,求不同的取珠序列的总数的平方和.(只要两个取出序列的珠子颜色都相同就视为相同的序列,不用考虑上下).$n,m<=300$
$shallwe$:完全可以作为$NOIP$ $D2T1$.
既然要求平方和,是不是要先求每种序列的方案数再平方求和呢?然而这样做是做不出来的.
出题人怎么说就怎么做是没有前途的...这里有一个挺神奇的转化:视为两个人各拿一个这样的管道取珠,当两个人取到的方案完全相同时答案$+1$,考虑这样做为什么是对的.比如取出某个序列有$a$种方法,那么这第一个人从这$a$种中任取一种,第二个人就有$a$种方法取出与之相同的序列,也就是平方了.太奇妙了.
这个转移其实非常简单,考虑一个最普通的:$dp[i][j][k][z]$表示第一个人在上边选了$i$个,下面选了$j$个,第二个人在上边选了$k$个,下边选了$z$个的方案数.既然序列要相同,那两个人取的珠子总数应该是相同的,可以直接删掉任意一维.现在时间复杂度已经能过了,但是空间复杂度又过不了了...显然需要用一个滚动数组,但是这样的状态没有办法滚动,所以重新设计:$dp[s][i][k]$,为了方便理解直接沿用了上边的下标名称,表示共取了$s$个,第一个人在上边取了$i$个,第二个人在上边取了$j$个的方案数.此时可以发现$s$每次只会增加$1$,滚动掉.
1 # include <cstdio> 2 # include <iostream> 3 # include <queue> 4 # include <cstring> 5 # include <string> 6 # define R register int 7 # define ll long long 8 # define mod 1024523 9 10 using namespace std; 11 12 const int maxn=503; 13 int n,m; 14 char s[maxn]; 15 int a[maxn],b[maxn]; 16 int dp[3][maxn][maxn]; 17 18 int ad (int a,int b) 19 { 20 a=a+b; 21 if(a>=mod) a-=mod; 22 return a; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 scanf("%d%d",&n,&m); 28 scanf("%s",s+1); 29 for (R i=n;i>=1;--i) 30 if(s[i]=='A') a[n-i+1]=1; 31 scanf("%s",s+1); 32 for (R i=m;i>=1;--i) 33 if(s[i]=='A') b[m-i+1]=1; 34 dp[0][0][0]=1; 35 for (R s=0;s<=n+m;++s) 36 { 37 int las=s&1; 38 int no=las^1; 39 memset(dp[no],0,sizeof(dp[no])); 40 for (R i=0;i<=n;++i) 41 for (R k=0;k<=n;++k) 42 { 43 int j=s-i,z=s-k,x=dp[las][i][k]; 44 if(!x) continue; 45 if(a[i+1]==a[k+1]) dp[no][i+1][k+1]=ad(dp[no][i+1][k+1],x); 46 if(a[i+1]==b[z+1]) dp[no][i+1][k]=ad(dp[no][i+1][k],x); 47 if(b[j+1]==a[k+1]) dp[no][i][k+1]=ad(dp[no][i][k+1],x); 48 if(b[j+1]==b[z+1]) dp[no][i][k]=ad(dp[no][i][k],x);} 49 } 50 printf("%d",dp[(n+m)&1][n][n]); 51 return 0; 52 }