SVM -支持向量机原理详解与实践之四
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SMO算法分析
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SMO即Sequential minmal optimization, 是最快的二次规划的优化算法，特使对线性SVM和稀疏数据性能更优。在正式介绍SMO算法之前，首先要了解坐标上升法。
坐标上升法(Coordinate Ascent)简单点说就是它每次通过更新函数中的一维，通过多次的迭代以达到优化函数的目的。
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坐标上升法原理讲解
为了更加通用的表示算法的求解过程，我们将算法表示成：
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（3.13-1） |
坐标上升法的算法为：
这个算法中最为关键的地方就是内循环对于的求解，意思是固定除了
之外的所有a（从i=1~m）,也就是说将
除外的其他变量看成是常数，并且将W看做是关于
的函数，那么直接对
求导优化得到极大值，在上面算法的版本中，内循环优化变量的顺序是
但是一个更高级的版本可能选择其它的顺序，例如我可以根据我们的期望来选择下一个变量来更新，并让W(a)有最大的增加。
当函数W在内循环中能够最快的达到最优，则坐标上升是一个有效的算法，下面是一个坐标上升的示意图：
上图中的椭圆形线代表我们需要优化问题的二次函数的等高线，变量数为2，起始坐标是(2,2)，途中的直线是迭代优化的路径，可以看到每一步都会相最优值前进一步，而且前进的路线都是平行与相应的坐标轴的，因为每次只优化一个变量。
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C++算法编程实践
问题：求解函数的最大值。
解：回顾我们前面分析的求取函数最大值的关键是，求解每一个迭代变量的导数，当求解某一变量的导数的时候，其他的变量看做是常数：
VS2013控制台工程参考代码如下：
// Coordinate ascent.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
#define f(x1,x2,x3) (-x1*x1-2*x2*x2-3*x3*x3+2*x1*x2+2*x1*x3-4*x2*x3+6)
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
double x1 = 1;
double x2 = 1;
double x3 = 1;
double f0 = f(x1, x2, x3);
double err = 1.0e-10;
while (true)
{
x1 = x2 + x3; //对x1求导的表达式，每次迭代后更新
x2 = 0.5*x1 - x3; //对x2求导的表达式，每次迭代后更新
x3 = 1.0 / 3 * x1 - 2.0 / 3 * x2; //对x3求导的表达式，每次迭代后更新
double ft = f(x1, x2, x3); //求函数值
if (abs(ft - f0)<err) //判断f是否收敛
{
break; //收敛即完成求解过程
}
f0 = ft; //更新f0
}
cout << "\nmax{f(x1,x2,x3)}=" << f(x1, x2, x3) << endl;
cout << "取得最大值时的坐标：\n(x1,x2,x3)=(" << x1 << "," << x2 << "," << x3 << ")" << endl;
system("pause");
return 0;
}
运行结果如下：
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SMO算法详解
回到我们软间隔与正则化章节（还有最优间隔分类器），我们的对偶问题，就是通过固定拉格朗日乘子a，得到w和b的最优化表达式（关于a的表达式），所以最后我们只需要确认a，我们就可以最终确定w和b，但是在讨论SMO算法之前，我们并没有真正求解出。这一章我们就会通过介绍SMO算法对对偶问题最后需要解决的问题：
做出一个求解，也就是在参数上求W最大值的问题，注意其中的
就是训练样本的输入，x即为样本的输入特征，y即样本对应的标签（结果）。
按照前面介绍的坐标上升的思路，我们首先固定除了以外的所有参数，然后在
上求极值。现在下面先固定
以外的所有参数，看看具体的求解步骤：
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首先由优化问题的约束条件
可知：
即可推出
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两边乘以： |
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(3.13.2-1) |
||
因为，所以
，因此到这一步，
就由其它的
决定，如果我们固定主
，无论如何不能违背优化问题的约束
。
因此如果我们想要更新一些的对象，为了保持满足约束条件就必须至少快速的更新它们中的两个，这个就激发出SMO算法，那么SMO算法可以简单的描述成：
重复大括号中的操作直到收敛{
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选择一对
和
来更新下一个(用启发式的方法，也就是尝试选取两个允许我们朝着全局最大方向做最大前进的参数)。
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固定所有其它的参数
，优化关于
和
的函数W(a)。
}
为了测试该算法的收敛性，我们可以检查KKT条件：
是否满足收敛容错参数，典型值为0.1~0.001之间。
SMO作为一个高效的算法的关键原因在于计算更新和
的效率非常高。假设当前我们有一些
满足(3.10.3-5)的约束，固定
，想要优化关于
和
的函数，用
表示
和
有：
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由于右边固定，我们可以直接用一个常数表示，例如用表示：
于是我可以将和
的约束画出来：
根据约束条件：
可知上图中表示和
的横轴和纵轴必须限制在0到C的方框内，并且也要在直线上。并且
的纵轴也必须满足
,否则就不能满足约束条件。
下面用表示
，过程是：
其中,因为
，所以有：
所以目标问题W可以表示为：
其中为常数。
实际的问题中W展开后就是一个关于的二次函数
, A、B、C是固定值，这样通过对W进行求导可得
，然而要保证
满足
,我们使用
表示求导求出的
, 然而最后的
，需要根据下面的情况得到：
求出以后，我们可以就可以得到
。
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支持向量机实践
这里限于篇幅，实践的内容将在下一篇展开…