[CF1338C] Perfect Triples - 找规律

Description

按照如下方式构造一个无穷数列 \(S\)。选取一个字典序最小的三元组 \((a,b,c)\) 满足 \(a,b,c \notin S\)，并且 \(a \oplus b \oplus c = 0\)，将 \(a,b,c\) 依次加入到序列 \(S\) 末尾。给定 \(n\) 求数列的第 \(n\) 项。

Solution

观察到，三个成组，答案可以分为若干段，第 \(i \ge 0\) 的长度为 \(4^{i-1}\)。

设当前组的开头数字为 \(B\)，则 \(B \sim B+4^{i-1}-1\) 都是分配给 \(a\) 的，\(B \sim B+4^{i-1} \sim B + 2 \times 4^{i-1} - 1\) 都是分配给 \(b\) 的，\(c\) 可以偷懒用 \(a,b\) 求出。

为了求 \(b\)，可以将当前区间分成四段，分别取第 \(1,3,4,2\) 小的 \(B \sim B+4^{i-1} \sim B + 2 \times 4^{i-1} - 1\) 划分成四段后的子区间，然后递归分治下去，直到求出。

其实 \(c\) 也可以用类似 \(b\) 的方法直接求出，只要把顺序换成 \(1,4,2,3\) 即可。

当然也可以不递归，直接写入二进制各位的值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;

const int k[3][4]={{0,1,2,3},{0,2,3,1},{0,3,1,2}};

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    int group=(n-1)/3-1, type=(n-1)%3;
    int ans=0,bas=1;
    while(group>=0)
    {
        ans+=bas*k[type][group%4];
        group=group/4-1;
        bas*=4;
    }
    cout<<ans+bas*(type+1)<<endl;
}

signed main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
}