[数论] 求逆元

逆元

•何为逆元

方程ax≡1(mod  p),的解称为a关于模p的逆，当gcd(a,p)==1（即a，p互质）时，方程有唯一解，否则无解。

逆元有对称性，x是a关于b的逆元，那a也是x关于b的逆元。

 

线性递推求逆元

线性求从1到n的$mod \ p$ 的逆元

设$p=ki+r \ (r<i<p,i>1)$  ①

可以得到

$k=\lfloor \frac{p}{i} \rfloor$  ②

$r=p \ mod \ i$  ③

$ki+r\equiv 0 (mod \ p)$  ④

两边同乘$i^{-1}\cdot r^{-1}$得

$kr^{-1}\cdot i^{-1}\equiv 0 (mod \ p)$

移项得$i^{-1}\equiv -kr^{-1} (mod \ p)$  ⑤

将②③代入⑤

得 $i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor\cdot (p \ mod \ i)^{-1}(mod \ p)$

由于$1^{-1}\equiv 1 (mod \ p)$

所以1到n $mod \ p$逆元就可以线性递推出来了

•代码

1 inv[1]=1;
2 for(int i=2;i<=n;i++)
3     inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];

线性求逆元