§9 三矢量的混合积
定义1 给定空间的三个矢量，我们
叫做三矢量
的混合积，记做
或
.
定理1 三个不共面矢量的混合积的绝对值等于以
为棱的平行六面体的体积
，并且当
构成右手系时混合积为正；当
构成左手系时混合积为负.
证 由于矢量不共面，所以把它们归结到共同的试始点
可构成以
为棱的平行六面体，它的底面是以
为边的平行四边形，面积为
，它的高为
，体积是
.
根据数性积的定义，
其中是
与
的夹角.
当构成右手系时，
，
，因而可得
.
当构成左手系时，
，
，因而可得
.
定理2 三矢量共面的充要条件是
.
证 若三矢量共面，由定理1.9.1知
，所以
，从而
.
反过来，如果，即
，那么根据定理1.7.1有
，另一方面，有矢性积的定义知
，所以
共面.
定理3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即
.
证 当共面时，定理显然成立；当
不共面时，混合积的绝对值等于以
为棱的平行六面体的体积
，又因轮换
的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.
推论1
.
定理4
设，
，
，那么
.
证 由矢量的矢性积的计算知
，
再根据矢量的数性积得
=
=
=.
推论2 三矢量共面的充要条件是
.