向量卷积与多项式乘法

 

对于两个离散序列f[n],g[m],可以将卷积定义为

s[k]=∑f[j]g[k-j]

回忆我们学过的多项式乘法，比如(x²+2x+1)(3x+2)

一般的计算方式是

(x²+2x+2)(3x+2) = (x²+2x+2)*3x+(x²+2x+2)*2

= 3x³+6x²+6x+2x²+4x+4

合并同类项之后

得到 3x³

6x²+2x²

6x+4x

4

----------------

3x³+8x²+10x+4

从线性代数的角度来看，多项式可以构成一个向量空间，通过选定一组基底

{1，x，x²，x³……}

就可以很容易将多项式与某维度的坐标向量相对应，这里采用降幂

1.(x²+2x+2)—>(1 2 2) ;

2.(3x+2)-à(3 2)

通过上面的卷积定义，可以得到向量卷积的定义

对于长度为m的向量u与长度为n的向量v的卷积

w(k)= ∑(u(j)*v(k+1-j)) 向量w的长度为m+n-1

ps:向量u对应的多项式最高次幂为x^m-1，向量v的是 x^n-1，两个多项式相乘之后最高次幂为x^m+n-2，最低次幂为x⁰ ，也就是1，所以得到的长度为m+n-1

根据上面的向量卷积的形式来重新处理坐标向量1,2(将1倒置)

(2 2 1)*(3 2)

计算方式：

A = x =(0 0 3 2 0 0)'

b = Ax=(3 8 10 4)'

A的每一行都代表序列(2 2 1)移动一位，然后与x做内积，通过一系列的向量内积，这样也得到了多项式相乘的结果。