数据结构_树与二叉树总结

定义

具有n（n≥）个节点的有穷集合D与D上的关系集合R构成的结构T。即T:=(D,R)。

树的逻辑表示法：树形表示、文氏图表示、凹入表示、嵌套括号表示。

有序树、无序树。

基本概念

双亲节点、祖先节点、兄弟节点、孩子节点、子孙节点

节点的度、树的度、节点的层次、树的深度或称高度。（层次、深度从1起）

根节点、叶子节点（度为0的节点）、分支节点（度非0的节点）、内部节点（非根分支节点）

性质

对于度为k的树：

1、节点数=度数+1

2、第i层最多节点数：k^(i-1)，i≥1

3、高为i的k叉树节点数最多：(kⁱ-1)/(k-1)，i≥1

4、n个节点的k叉树深度最小为：ceil( log_k( n(k-1)+1 ) )

存储结构

多重链表：定长链节点个数（二叉树等）、不定长链节点个数

三重链表：每个节点三个指针域（第一个孩子节点、双亲节点、第一个兄弟节点）

对树的操作

构建、遍历、销毁；插入某节点、查找某节点、删除某节点

2、二叉树

二叉树是有序树，有5中基本形态。（度不超过2的树不一定是二叉树，因为二叉树还要求左右子树有序不能颠倒）

n个节点可以构建卡特兰数 f(n)= (k=1~n)Σ(f(k-1)f(n-k)) = (C2n n)/(n+1) ，f(0)=f(1)=1种形态的二叉树。对于有n个节点的有序序列，其BST树也是卡特兰数种。

性质

1、节点数=度数+1

2、第i层节点数：2^(i-1)，i≥1

3、高为i的二叉树节点数最多：2ⁱ-1，i≥1

4、n个节点的二叉树深度最小为：ceil( log₂(n+1) )，为理想平衡二叉树时取最小值

5、度为0的节点数=度为2的节点数+1。（因为 节点数n=n0+n1+n2 且 分支数 n-1=n1+2n2，联立可得之）

6、n个节点的完全二叉树从1起对节点从上到下从左到右的编号，编号为i的节点：父节点编号为 floor(i/2)，除非该节点已为父节点；左孩子节点编号为2i，除非2i>n即该节点已为叶子节点；右孩子编号为2i+1，除非2i+1>n即右孩子不存在。

推而广之，对于完全m叉树编号为i的节点，其父节点编号为 floor((i+m-2)/m ) ，第j个孩子编号为 mi+j-m+1 。

存储

1、顺序存储：数组。（适用于完全二叉树的存储，一般二叉树可以通过填充虚拟节点当成完全二叉树来存储。缺点是浪费空间）

2、链式存储：

二叉链表（左孩子、右孩子）：n个节点的二叉树有n+1个空指针域（空指针域即2n0+n1=n2+1+n0+n₁=n+1）。线索二叉树通过利用空指针域指向直接前驱、后继节点来避免遍历时使用堆栈，如中序线索二叉树。

三叉链表（父节点、左孩子、右孩子）

建立

建立：根据输入的序列构建用二叉链表存储的二叉树。这里假定序列为字符串，每个字符对应树中一个节点。

遍历：根据输入序列构建二叉树时需要遍历输入序列，遍历方式有：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历，具体下节介绍。

输入：

首先说下补空，由输入序列（前缀、中缀、后缀皆可）构建二叉树时，如果序列里没有标记一些节点结束信息，则由于无法识别结束或哪些是叶节点从而不能由序列构建出树。所谓补空就是在序列中加入一些特殊字符如'#'，加在哪？方式1：通常是序列对应的树的节点的空指针域中，也即度为1和0的节点的空孩子，此时对于n个节点的序列其补空数为n+1；方式2：也可以只对度为1的节点补空。有趣的是如果输入序列是表达式，则用前种补空方式时只有叶节点即操作数补空、用后种补空时没有节点被补空。通常用前种方式补空，某些特殊情况下才用后者。

加括号：把根节点和其左右子树看成一体，在其外围加上括号。左右子树都不存在的节点（叶节点）不用加括号。

百言不如一图，树T按方式1、2分别被补空为T1、T2：

对输入序列：由单一序列就想构建二叉树则需要 序列包含补空信息 或 序列本身包含额外信息（如前缀表达式序列操作符为内部节点操作数为叶节点），要想不补空就能构建二叉树则需多个序列。

总结：（带括号补空：前、中、后序递归;   不带括号补空：前序递归、后序非递归、层次非递归；   不带括号不补空：前后缀表达式、前中序、中后序、中序层次 等），其中，由 不带括号内补空层次序列 构建二叉树最直观最适用，如LeetCode中与树有关的题目的输入。

1、通常而言，输入序列里需要包含补空信息，此时可采用 前序、中序、后序 遍历输入序列来建立二叉树，只要构建过程遍历采用的序与输入序列采用的序一样。分为两种情况：

1）带括号的补空序列（方式1或2）（可按方式1或2补空，不管是T1、T2，有几个内部节点就有几个括号，即为T的节点数或内部节点数）

a、带括号、补空，前序序列（递归构建）：

 1 void createPreOrder_withBrackets(char prefix[],BTREE &T)
 2 {
 3 //要求输入的前缀序列带括号 ，并含有对度为0和1的节点的补空特殊字符。此时非特殊字符都成了“内部节点”，有几个非特殊字符就有几个括号。 
 4 //当然也可以只对度为1的补空，此时有几个非叶节点的非特殊字符就有几个括号。若输入的是前缀表达式，则此情况的内部节点其实就是操作符，叶节点是操作数。 
 5 //例子：度为0和1的补空：( A( B( D##) ( E( G#( H##) ) #) ) ( C( F##) #) )，只对度为1的补空：( A( BD( E( G#H )# ) )( CF# ) ) 
 6 //特殊例子(前缀表达式)：度为0和1的补空：( *( +( A##) ( /( -( B##) ( C##) ) ( D##) ) ) ( E##) ) ，只对度为1的补空：(*(+A(/(-BC)D))E)
 7     char x=nextToken(prefix);
 8     
 9     if(x=='#')
10     {
11         T=NULL;
12     }
13     else
14     {
15         T=(BTREE)malloc(sizeof(BTNode));
16         T->lchild=NULL;
17         T->rchild=NULL;
18         
19         if(x=='(')
20         {//处理括号里的表达式 
21             x=nextToken(prefix);//表达式的操作符 
22             T->data=x;
23             
24             createPreOrder_withBrackets(prefix,T->lchild);//表达式的左操作数 
25             
26             createPreOrder_withBrackets(prefix,T->rchild);//表达式的右操作数 
27             
28             nextToken(prefix);//右括号 
29         }
30         else
31         {
32             T->data=x;
33         }        
34     }
35 }

createPreOrder_withBrackets