- 题库 ：一本通
- 题号 ：1486
- 题目 ：黑暗城堡
- link ：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1486
思路 ：这道题既然要求使加入生成树中的点到1号节点的距离最小，那么我们可以理解为题目要求一个最短路径生成树，那么我们可以从1号节点向每个节点跑一遍SPFA最短路，并记录下来。这道题中如果满足两个点i，j && dis[i] = dis[j] + f[i][j]（dis[i]表示第i个点到1号节点的最短距离，f[i][j]表示i向j连的直接路径的长度）那么就满足题目中的条件（生成树中的某个点到1号节点的路径等于从当前点到1号节点的最短路径），所以当前点的答案数++，最后再用乘法原理把他们的方案数乘起来。
证明一下为什么 dis[i] = dis[j] + f[i][j] 答案数就++ ：
如样例图所示：
我们手动模拟求得dis[1] = 0, dis[2] = 1, dis[3] = 2, dis[4] = 3（f的就不求了）
开始模拟：
- 第2号节点 ：枚举所有点，显而易见只有dis[2] = dis[1] + f[2][1]的这种情况（每个节点都会有这种情况的，即直接走最短路）
- 第3号节点 ：枚举所有点，显而易见有两种情况，一是直接走最短路（这里就不写了），二是经过2号节点，再到达1号节点dis[3] = dis[2] + f[3][2]
- 第4号节点 ：枚举所有点，显而易见有三种情况，一是直接走最短路（这里就不写了），二是经过2号节点，再到达1号节点dis[4] = dis[2] + f[4][2]，三是经过3号节点，再到达1号节点dis[4] = dis[3] + f[4][3]
综上所述，如果一个节点可以经过另一个节点到达1号节点，而且距离还是相同的，那么答案数就可以++了。这里采用了Floyed的思想
那个式子翻译成中文就是如果一个节点到1号节点的最短路 = 另一个和它有连边的节点到根节点的最短路 + 它们两个节点之间的直接距离，那么答案数++，而那条边要不然就是在最短路里，要不然就是另一种方案
code ：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define INF 0x3f3f3f3f 3 using namespace std; 4 const long long MOD = pow(2, 31) - 1;//别忘了取膜 5 int n, m, x, y, num, head[1000001], vis[1000001]; 6 long long ans, z, dis[1000001], f[1001][1001];//这些变量最好开long long 7 struct node 8 { 9 int next, to; 10 long long val; 11 }stu[1000001]; 12 inline void add(int x, int y, int z)//标准链式向前星 13 { 14 stu[++num].next = head[x]; 15 stu[num].to = y; 16 stu[num].val = z; 17 head[x] = num; 18 return; 19 } 20 inline void spfa(int s)//SPFA最短路 21 { 22 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 23 memset(dis, INF, sizeof(dis)); 24 queue < int > pru; 25 pru.push(s); 26 dis[s] = 0; 27 vis[s] = 1; 28 while(!pru.empty()) 29 { 30 int u = pru.front(); 31 pru.pop(); 32 vis[u] = 0; 33 for(register int i = head[u]; i; i = stu[i].next) 34 { 35 int k = stu[i].to; 36 if(dis[k] > dis[u] + stu[i].val) 37 { 38 dis[k] = dis[u] + stu[i].val; 39 if(!vis[k]) 40 { 41 vis[k] = 1; 42 pru.push(k); 43 } 44 } 45 } 46 } 47 return; 48 } 49 int main() 50 { 51 memset(f, INF, sizeof(f));//初始化 52 scanf("%d %d", &n, &m); 53 for(register int i = 1; i <= m; ++i) 54 { 55 scanf("%d %d %lld", &x, &y, &z); 56 add(x, y, z);//无向图 57 add(y, x, z); 58 f[x][y] = f[y][x] = min(f[x][y], z);//取最小(不知道有没有毒瘤数据) 59 } 60 spfa(1);//从1号节点出发 61 ans = 1;//初始化为1 62 for(register int i = 2; i <= n; ++i)//1号节点不算 63 { 64 int sum = 0;//当前节点的方案数 65 for(register int j = 1; j <= n; ++j)//枚举 66 { 67 if(dis[i] == dis[j] + f[i][j])//不解释 68 { 69 ++sum; 70 } 71 } 72 if(sum)//这里其实不需要特判，因为每个点都一定会有走最短路这种情况 73 { 74 ans = ans * sum % MOD;//乘法原理 + 边乘边膜 75 } 76 } 77 printf("%lld", ans); 78 return 0; 79 }