图及其衍生算法（Graphs and graph algorithms）

1. 图的相关概念

　　　　树是一种特殊的图，相比树，图更能用来表示现实世界中的的实体，如路线图，网络节点图，课程体系图等，一旦能用图来描述实体，能模拟和解决一些非常复杂的任务。图的相关概念和词汇如下：

　　　　　　顶点vertex：图的节点

　　　　　　边Edge：顶点间的连线，若边具有方向时，组成有向图（directed graph）

　　　　　　权重weight：从一个顶点到其他不同顶点的距离不一样，因此边具有权重，来表示不同的距离

　　　　　　路径path：从一个顶点到另一个的所有边的集合

　　　　　　回路cycle：在有向图中，从一个顶点开始，最后又回到起始顶点的路径为一个回路

　　　　　　图可以表示为G={V，E}，其中V为顶点的集合，E为边的集合，如下图所示：

　　　

 2，图的实现

　　　　图的相关操作如下：

Graph()                              #创建图
addVertex(vert)                      #添加顶点
addEdge(fromVert, toVert)            #添加边
addEdge(fromVert, toVert, weight)    #添加边及其权重
getVertex(vertKey)                   #获取某个顶点
getVertices()                        #获取所有顶点
in                                   #判断是否包括某个顶点

　　　　可以通过邻接矩阵（adjacency matrix）或领接表（adjacency list）来实现图。邻接矩阵表示图的结构如下，图中的数字表示两个顶点相连，且边的权重为该值。可以发现邻接矩阵更加适合于边较多的图，不然会造成内存空间的浪费。

　　　　邻接表表示图的结构如下，一个主列表中包含图的所有顶点，每个顶点又各包含列表记录与其相连的边。可以发现邻接表更适合边较少的图。

 　　　　python实现邻接表代码如下：

#coding:utf-8


class Vertex(object):
    def __init__(self,key):
        self.id=key
        self.connectedTo={}

    def __str__(self):
        return str(self.id) + "connected to" +str([x.id for x in self.connectedTo])
    
    #nbr为vertex对象
    def addNeighbor(self,nbr,weight=0):
        self.connectedTo[nbr]=weight

    def getConnections(self):
        return self.connectedTo.keys()

    def getId(self):
        return self.id

    def getWeight(self,nbr):
        return self.connectedTo[nbr]

class Graph(object):

    def __init__(self):
        self.vertList = {}
        self.numVertices = 0

    def addVertex(self,key):
        newVertex = Vertex(key)
        self.vertList[key]=newVertex
        self.numVertices +=1
        return newVertex

    def getVertex(self,key):
        if key in self.vertList:
            return self.vertList[key]
        else:
            return None

    def __contains__(self, key):
        return key in self.vertList

    #fromVert,toVert为起始和终止节点的key
    def addEdge(self,fromVert,toVert,weight=0):
        if fromVert not in self.vertList:
            self.addVertex(fromVert)
        if toVert not in self.vertList:
            self.addVertex(toVert)
        self.vertList[fromVert].addNeighbor(self.vertList[toVert],weight)

    def getVertices(self):
        return self.vertList.keys()

    def __iter__(self):
        return iter(self.vertList.values())

if __name__ == '__main__':
    g = Graph()
    for i in range(6):
        g.addVertex(i)
    g.addEdge(0, 1, 5)
    g.addEdge(0, 5, 2)
    g.addEdge(1, 2, 4)
    g.addEdge(2, 3, 9)
    g.addEdge(3, 4, 7)
    g.addEdge(3, 5, 3)
    g.addEdge(4, 0, 1)
    g.addEdge(5, 4, 8)
    g.addEdge(5, 2, 1)
    for v in g:
        for w in v.getConnections():
            print("( %s , %s )" % (v.getId(), w.getId()))

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