戴德金原理
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- 中文名：戴德金原理
- 外文名：Dedekind principle
- 所属学科：数学
- 所属问题：高等几何(几何基础)
- 别 名：戴德金分割
- 提出者：戴德金((J.W.)R.Dedekind)
实数集R分成两个子集S和T，它们满足：
；
；
(3)
，总有x<y(称S为左集，T为右集)
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实数，简称为不空。第二条要求是S和T包含了所有的实数，换句话说，对于任何一个实数或者属于左集S或者属于右集T，二者必居其一，简称为不漏。第三条要求是左集S中的实数都比右集T中的实数小，简称为不乱。由第三条可以推知左集中的实数不会在右集中出现，右集中的数也不会在左集中出现。若x属于左集，凡小于x的实数也都属于左集，若y属于右集，凡大于y的实数也都属于右集。
例如令
}，
T={x∈R | x≥1}。
这也确定了一个戴德金分割(S，T)。
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柯西收敛准则。
也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。
现在对有理数集Q任意作一个戴德金分割(S,T)，此时可能会出现以下3种情况。
不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。这是因为如果设S中的最大值为a，T中的最小值为b，根据引理，它们的算术平均数c也是有理数且a<c<b。但因为a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。这就导致了有理数c不属于S和T的任意一个集合，与戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。
对于情况（1）和（2）戴德金称该分割确定了一个有理数，或者把这样的分割叫做一个有理数。对于（3），戴德金称该分割确定了一个无理数，或者把这样的分割叫做一个无理数。有理数和无理数统称为实数，记做R，因此每个实数就是一个对有理数集Q的分割。
在这样的定义下可以给出实数相等的定义以及大小的比较。
相等：设实数a、b是两个戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此时必有T=T'），则称a=b。
大小比较：若集合S⫋S'，则称a<b。若集合S⊆S'，则称a≤b。
也就是说，要证明两个实数相等，只需要证明分割所得到的S和S'相等。
(称为中介数或中介点)，它或者是S的最大数(此时T中无最小数)，或者是T的最小数(此时S中无最大数)。
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