画函数图形的C#程序，兼论一个病态函数

该程序在屏幕上画出指定的函数的图像，函数的自变量的取值范围由用户指定，程序自动计算该区间内函数的值的取值范围。首先，让我们来看一幅正弦函数: f(x)  =  sin(x) 的图像：

这幅图像中，ClientSize: 529x152 表示该程序画图区宽度为 529 个像素，高度为 152 个像素。该函数自变量 x 的取值范围从 -3.5 到 3.5，函数值 y 的取值范围应该是从 -1 到 1，但因为浮点数运算误差的关系，程序计算出来的是从 -0.999979504787793 到 0.999979504787793。接下来的 rx 表示函数自变量每单位值用多少个象素表示，ry  表示函数的值每单位值用多少个象素表示，r 值如果小于1表示图形纵向被压扁，反之则被拉伸。

 
这是抛物线的图像吗？不，这就是我们要讨论的病态函数: f(x) = 3 * x² + π^-4 * ln[(π-x)²] + 1 在 x 位于区间 [-10, 10] 之间的图像。程序计算出来的函数在这区间的取值范围是从 1.02350355338907 到 301.052885868965。r  值是 0.0165397334645646，表明该图像被极大地压扁，也就是，实际的图像要高得多。但是，由于这个函数是病态的，程序的计算实际上是错误的，在该区间内，函数的最小值应该是负无穷大，并且，在 π - 10^-667 到 π + 10^-667 这一极小区间内方程 f(x) = 0 有两个实根。让我们在 π 值附近放大图像看一看： 



这下看得比较清楚了吧！
实际上这个病态函数是《C数值算法(第二版)》第三章“内插法和外推法”中提到的：

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可以很容易地构造一些病态函数使内插法失败。例如，考虑函数 
f(x) = 3 * x² + π^-4 * ln[(π-x)²] + 1
它除了 x = π 之外都有定义，而 x = π 时无定义，其它情况，值有正有负。而这函数在任何基于数值 x = 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 的插值法，都肯定在 x = 3.1416 处得到一个错误的解，尽管通过这五个点所画的曲线确实相当平滑!(用计算器试试看。)
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这个画函数图形的C#程序有一个严重的缺点，就是函数表达式是直接写的源程序中的，不能象SciLab和Matlab那样交互式地输入。不知道用 System.Reflection.Emit.ILGenerator 类能不能动态地生成用户输入的函数表达式？好了，下面就是该程序的源代码：

// plot.cs: 画函数图形, 编译方法: csc /t:winexe plot.cs
using System;
using System.Drawing;
using System.Windows.Forms;

namespace Skyiv.Ben.Plot