一、理解和感悟
裴蜀定理
裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数\(a\)、\(b\)和它们的最大公约数\(d\)，关于未知数\(x\)和\(y\)的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若\(a\),\(b\)是整数,且\(gcd(a,b)=d\)，那么对于任意的整数\(x\),\(y\),\(ax+by\)都一定是\(d\)的倍数，特别地，一定存在整数\(x\),\(y\)，使\(ax+by=d\)成立。
推论：\(a\),\(b\)互质的充分必要条件是存在整数\(x\),\(y\)使\(ax+by=1\)。
举个栗子：
\(2x+y=3\)
那么\(a=2\),\(b=1\),\(m=3\),\(gcd(2,1)=1\),\(3\)是\(1\)的倍数，所以这个方程一定要整数解。
比如\(x=1\),\(y=1\)就是一个整数解，还可以有\(x=-2\),\(y=7\)也是一组整数解。
注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解。
再举一个栗子：
\(4x+2y=5\)
有没有整数解呢？没有，因为\(a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5\)是除不开\(2\)的，所以没有整数解!
如何求贝祖数？
什么是贝祖数？
比如：\(2x+y=3\)，那么符合这个等式的\(x=1\),\(y=1\)就是一组贝祖数。
在计算机算法中，可以使用扩展欧几里得算法求贝祖数。
举个栗子：
求 \(104x+40y=8\) ，有没有合适的\(x,y\),也就是求贝祖数。
通过贝祖定理看一下，它是不是有解： \(gcd(104,40)=8\),\(8\)是\(8\)的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？
扩展欧几里得算法的推导过程：
我们先来求方程 \(ax+by=gcd(a,b)\)的解
(\(1\))、当 \(b=0\)时
\(ax+by=gcd(a,0)\)，也就是:\(ax=gcd(a,0)=a\),所以\(x=1\)。
那么\(y\)呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于\(0\)的第一个可能\(y\)值就是:\(y=0\),所以，可以将\(x=1,y=0\)做为一组特解返回，也就是返回了一组“不小于零的贝祖数”。
(\(2\))、当 \(b≠0\)时
\(\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
并且\(①\ \ \ \ ax+by=gcd(a,b)\)
\(\therefore bx′+(a\%b)y′=gcd(a,b)\)
\(\because a−⌊a/b⌋∗b=a\%b\)
\(\therefore bx′+(a−⌊a/b⌋∗b)y′=gcd(a,b)\)
变形一下：
\(② \ \ \ \ ay′+b(x′−⌊a/b⌋∗y′)=gcd(a,b)\)
对比\(① ②\)系数：
\(\therefore\) \(x=y′,y=x′−⌊a/b⌋∗y′\)
因此可以采取递归算法 先求出下一层的\(x′\)和\(y′\) 再利用上述公式回代即可
二、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/**
* 功能：扩展欧几里得算法模板
* @param a 第一个数
* @param b 第二个数
* @param x 贝祖数x 最小非负整数
* @param y 贝祖数y 最小非负整数
* @return
*/
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
int main() {
//优化输入
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
int x, y;
exgcd(a, b, x, y);
printf("%d %d\n", x, y);
}
return 0;
}