多采样率信号处理 ——信号的抽取与插值

1.引言

一般多速率变换传输系统结构如上图。
这种结构在传输时进行抽取，可以减少传输的数据量，接收端进行恢复时进行插值，将信号恢复成原始抽样率的信号。但是如果是在数字信号处理中只需要改变数字采样率，一般是先进行插值在进行抽取，以免造成频率混叠。进行抽取时，原始信号的频谱被周期拓展，如果原始信号最高频率大于抽取之后采样率的一半就会发生混叠（如果是复信号，则信号最高频率大于抽取之后采样率就会发生混叠）。插值也会让频谱周期拓展，但由于输出信号点数增多，所以频率分量只是周期存在，不会发生混叠。

2.信号的抽取
设 $x (n_{1} T_{1})$ 是连续信号 $x_{a} (t)$ 的采样序列，采样率为 $f_{1} = 1 / T_{1}$

3.信号的插值

3.1 什么是插值？

设，将x(n)中每两个点之中补L-1个0，组成一个新的序列v(n)，即

3.2 插零后的信号及其频谱

插零后信号的频谱V(jω)在(-π/L~π/L)内等于X(ejω),相当于将X(ejω)作了周期压缩。换句话说，就是V(jω)在(-π~π)内包含了L个X(jω)的压缩样本。

3.3 先插值再滤波

频域中研究：

实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器作卷积：

所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L) 。

时域中研究：

注意：插值时补进来的零，不再是零。此时再进行低通滤波，无非是想将我们的信号频谱恢复出来！