傅里叶变换基础

傅里叶变换基础

直观理解

在如上图所示的三维坐标系中，向量v的坐标可以分解为向量v与三个基向量的内积：
$a=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{1} \quad b=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{2} \quad c=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{3}$a=v⋅e1​b=v⋅e2​c=v⋅e3​
同时，向量v可以表示为三个基向量按照v的坐标的合成：
$\mathbf{v}=a \mathbf{e}_{1}+b \mathbf{e}_{2}+c \mathbf{e}_{3}$v=ae1​+be2​+ce3​
因此，只要获得了坐标系的基向量，坐标系中任何向量分解与合成都可以利用基向量表示。基向量是一组线性无关的向量组，如上图的三个两两正交的向量。

直观上，傅里叶变换也是建立了一个坐标系，坐标系的基两两正交(这将在下面做出证明),任何一个信号都可以用这个坐标系中的基来进行分解与合成：

$e^{j \omega t}$ejωt即为这个坐标系下的基，不同ω下$e^{j \omega t}$ejωt两两正交(这将在下面做出证明)，与上面两个公式类似，信号可以按照下面公式进行分解与合成：

分解：
$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{j \omega t} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t$X(ω)=∫−∞+∞​x(t)ejωtdt=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt
注意由于$e^{j \omega t}$ejωt是复指数，计算内积时应取共轭。

合成：
$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d \omega$x(t)=∫−∞+∞​X(ω)ejωtdω

基本指数信号

我们分别约定ω和Ω分别代表连续时间域和离散时间域的频率。$e^{j \omega t}$ejωt和$e^{j\Omega t}$ejΩt分别是连续时间域和离散时间域的指数信号，它们有着优秀的性质：

连续域指数信号$e^{j \omega t}$ejωt的性质

1.这是一个周期信号，最小周期T=2π/ω.由于${e^{2\pi j}} = 1$e2πj=1,所以周期性很容易看出来：
$e^{j \omega t}=e^{j \omega(t+k T)}=e^{j \omega\left(t+k \frac{2 \pi}{\omega}\right)}$ejωt=ejω(t+kT)=ejω(t+kω2π​)
根据上面的公式也不难看出来，ω越大，信号震荡的速率越高。

2.当$|\omega_{1}|$∣ω1​∣≠$|\omega_{2}|$∣ω2​∣时，$e^{j \omega_{1} t}$ejω1​t和$e^{j \omega_{2} t}$ejω2​t正交。这是一个很重要的性质，下面做一个简单的证明：

考虑到$e^{j \omega t}$ejωt是周期信号，我们只需要证明他们在一个相同的周期内正交。假设T是这两个信号最小周期T1、T2的最小公倍数(其中，$T_{1}=2 \pi / \omega_{1}$T1​=2π/ω1​,$T_{2}=2 \pi / \omega_{2}$T2​=2π/ω2​).
$T=k_{1} T_{1}=k_{1} \frac{2 \pi}{\omega_{1}} \quad \text { and } \quad T=k_{2} T_{2}=k_{2} \frac{2 \pi}{\omega_{2}} \quad\left(k_{1}, k_{2} \in Z^{+}\right)$T=k1​T1​=k1​ω1​2π​ and T=k2​T2​=k2​ω2​2π​(k1​,k2​∈Z+)
要证明这两个信号正交，只需证明它们的内积为0。需要注意的是这两个信号是复指数，因此计算内积时需要计算后一个信号的共轭：
$\begin{array}{l}\int_{0}^{T} e^{j \omega_{1} t} e^{j \omega_{2} t} d t=\int_{0}^{T} e^{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} d t=\frac{1}{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)} e^{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} | \begin{array}{l}T \\0\end{array} \\=\frac{1}{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)}\left(e^{j\left(k_{1}-k_{2}\right) 2 \pi}-1\right)=0\end{array}$∫0T​ejω1​tejω2​tdt=∫0T​ej(ω1​−ω2​)tdt=j(ω1​−ω2​)1​ej(ω1​−ω2​)t∣T0​=j(ω1​−ω2​)1​(ej(k1​−k2​)2π−1)=0​
上面公式并不难，就不做详解了。

离散域指数信号$e^{j\Omega t}$ejΩt的性质

1.并非对于所有的Ω来说，$e^{j\Omega t}$ejΩt是周期信号。仅当Ω/2π是有理数(即Ω/2π=m/N)的时候，才是周期信号。这是因为当Ω/2π=m/N时，有：
$e^{j \Omega n}=e^{j \Omega(n+N)}=e^{j(\Omega n+2 \pi m)}$ejΩn=ejΩ(n+N)=ej(Ωn+2πm)
2.$e^{j\Omega t}$ejΩt不是频率独立的(distinct)，这是因为${e^{j{\Omega _{\rm{0}}}n}} = {e^{j({\Omega _0} \pm 2\pi k)n}}$ejΩ0​n=ej(Ω0​±2πk)n，所以$\Omega_{0}$Ω0​和$(\Omega _0 \pm 2\pi k)$(Ω0​±2πk)对于信号的效果是一样的。

傅里叶变换的公式表示

通过上面的直观理解，我们可以给出傅里叶变化的公式：

信号分解：
$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t$X(ω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt
信号合成：
$x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d \omega$x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(ω)ejωtdω
如果我们对信号的周期f更感兴趣，可以根据$f=2 \pi / \omega$f=2π/ω来用周期f代替频率ω：

信号分解：
$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} d t$X(f)=∫−∞+∞​x(t)e−j2πftdt
信号合成：
$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} d f$x(t)=∫−∞+∞​X(f)ej2πftdf
一个信号存在傅里叶变换需要满足 狄利克雷条件，它是一个充分不必要条件：

1. 信号x(t)绝对可积。
   $\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)| d t<\infty$∫−∞+∞​∣x(t)∣dt<∞

2. 在任何间隔内，信号x(t)的极大值和极小值的数目应是有限个。

3. 在任何间隔内，信号x(t)连续或只有有限个第一类间断点。

参考

中国大学慕课：数字图像处理与英语，浙江大学

A. V. Oppenheim, A. S. Willsky and I. T. Young,Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983