圆面、球面上的采样方法

（本文内容主要来自《pbrt》13.5、13.6）
如果$y$y满足概率密度分布$p(y)$p(y)，如果要随机地获取一个$y$y的话，可以先获取一个随机数$t$t，然后代入它的累积概率密度$P(y)=t$P(y)=t，然后求解出$y$y即可。
但是很多情况需要的不仅是对单个变量做采样，往往需要对多个维度下的多个变量进行采样，而这些多个变量之间很有可能有互相关联，并且直接采样也不容易，可以考虑做一些变换来进行采样。

一切推导从一个最基本的式子出发，$y$y和$x$x的累积概率密度$CDF$CDF相同，$P\{ Y<=y(x)\}=P\{ X <= x\}$P{Y<=y(x)}=P{X<=x}
因此$P_y(Y) = P_x(X)$Py​(Y)=Px​(X)
两边做一下微分即可得：$p(y)dy/dx =p(x)$p(y)dy/dx=p(x)
那么如果y和x都是多维的情况，很容易就可以得到$p(y)J_y(x)=p(x)$p(y)Jy​(x)=p(x)，$J_y(x)$Jy​(x)是$y$y关于$x$x的雅克比行列式。

具体的例子：
1.圆面上进行均匀采样。
圆面上的任何一点可以由直角坐标系下的$(x,y)$(x,y)表达，也可以由极坐标系下的$(r,\theta)$(r,θ)来表达，并且存在关系：$x=rcos\theta，y=rsin\theta$x=rcosθ，y=rsinθ$J =\begin{vmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \\ \end{vmatrix} =r$J=∣∣∣∣​cosθsinθ​−rsinθrcosθ​∣∣∣∣​=r
因此可以得到关系$rp(x,y)=p(r,\theta)$rp(x,y)=p(r,θ)
由于要求在圆面上进行均匀采样，也就是说每一点被采到的概率都应该相同，$p(x,y)=1/\pi$p(x,y)=1/π，那么$p(r,\theta)=\frac{r}{\pi}$p(r,θ)=πr​，进一步可以得到$p(r)=\int_{0}^{2\pi}\frac{r}{\pi}d\theta=2r$p(r)=∫02π​πr​dθ=2r
由此$p(\theta|r)=p(r,\theta)/p(r)=\frac{1}{2\pi}$p(θ∣r)=p(r,θ)/p(r)=2π1​
这个结果可以看出$\theta$θ和$r$r是互相独立的，因此可以分别获取两个随机数$a,b$a,b，最终的采样结果为：$r=\sqrt{a},\theta=2\pi b$r=a​,θ=2πb

2.半球面上对立体角做均匀采样
立体角被定义为单位球面上的单位面积，于是$dw=dA=sin\theta d\theta d\phi$dw=dA=sinθdθdϕ（dA为单位球上的微元面积），因此$p(w)sin\theta=p(\theta,\phi)$p(w)sinθ=p(θ,ϕ)
而要求对立体角做均匀采样，于是$p(w)=\frac{1}{2\pi}$p(w)=2π1​
即$p(\theta,\phi)=sin\theta/2\pi$p(θ,ϕ)=sinθ/2π
进一步$p(\theta)=\int_{0}^{2\pi}sin\theta/2\pi d \phi=sin\theta$p(θ)=∫02π​sinθ/2πdϕ=sinθ
于是$p(\phi|\theta)=\frac{1}{2\pi}$p(ϕ∣θ)=2π1​
可取两个随机数$a,b$a,b，这样可以得到$\phi$ϕ和$\theta$θ：$\phi = 2\pi a,\theta=cos^{-1}b$ϕ=2πa,θ=cos−1b
进一步代入直角坐标系可以得到$x,y,z$x,y,z

3.半球面上对立体角做Cosine-Weighted采样
Cosine-Weighted采样指的是立体角方向与竖直方向夹角的余弦值越高，那么该立体角被采样得到的概率就越大的一种采样方式。
也就是说$p(w)=cos\theta·c$p(w)=cosθ⋅c，其中$c$c是一个常系数
由于对整个半球面做积分，得到值应该为1：$\int_{H^2}c·cos\theta dw=1$∫H2​c⋅cosθdw=1
代入计算可以得到$c=\frac{1}{\pi}$c=π1​，直接使用2的推导可以得到$p(\theta,\phi)=p(w)sin\theta=\frac{sin\theta cos\theta}{\pi}$p(θ,ϕ)=p(w)sinθ=πsinθcosθ​
继续往后推导就可以得到具体采样的公式。

但是这里有一个更加简单的方法
如图所示，只需要现在圆面上进行一次采样得到黑色的点，然后把它往上投影到球面上即可。
下面来证明其正确性，也就是要证明通过这样的采样方式是符合$p(\theta,\phi)=\frac{sin\theta cos\theta}{\pi}$p(θ,ϕ)=πsinθcosθ​的。
在二维球面上采样可以获得$p(r,\phi)=\frac{r}{\pi}$p(r,ϕ)=πr​，不难发现$r=sin\theta$r=sinθ，于是$p(sin\theta,\phi)=\frac{r}{\pi}$p(sinθ,ϕ)=πr​
考虑将$p(sin\theta,\phi)$p(sinθ,ϕ)变换至$p(\theta,\phi)$p(θ,ϕ)，可得雅克比行列式$J=\begin{vmatrix} cos\theta & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix}=cos\theta$J=∣∣∣∣​cosθ0​01​∣∣∣∣​=cosθ
因此$p(\theta,\phi)=Jp(\sin\theta,\phi)=\frac{sin\theta cos\theta}{\pi}$p(θ,ϕ)=Jp(sinθ,ϕ)=πsinθcosθ​
这说明这种方法采样得到的结果是符合Cosine-Weighted采样要求的。