Cerea学习，包含示例代码

Ceres Learning

githut

0 参考资料

（1）Ceres Solver

（2）Ceres-Solver学习笔记(1)

（3）Ceres-Solver学习笔记(2)

（4）Ceres-Solver学习笔记(3)

（5）Ceres-Solver学习笔记(4)

（6）Ceres-Solver学习笔记(5)

（7）Ceres-Solver学习笔记(6)

（8）Ceres-Solver学习笔记(7)

（9）Ceres-Solver学习笔记(8)

（10）Ceres-Solver学习笔记(9)

1 练练手

1.1 非约束最优化问题

argminxf(x)=12(10−x)2(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\arg min}_{x}f(x)=\frac{1}{2}(10-x{)}^2\end{array}$$

步骤

​ （1）编写CostFunction结构体。必须重载运算符()，必须使用模板类型，所有输入参数和输出参数都使用模板类型。

​ （2）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

1.2 曲线拟合

（1）魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)

f(x)=∑n=0Nancos(bnπx)(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x)=\sum _{n=0}^N{a}^{n}cos(b^n\pi x)\end{array}$$

​ 其中0<a<1$0<a<1$，b$b$为正奇数，且满足ab>1+32π$ab>1+\frac{3}{2}\pi$

（2）Weierstrass图像绘制

（3）步骤

​ （3.1）构造数据。设置参数a=0.3,b=7,n=200$a=0.3,b=7,n=200$ 。

​ （3.2）编写CostFunction结构体。

​ （3.3）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（4）总结

​ （4.1）利用ceres无法对非线性函数进行曲线拟合，如魏尔斯特拉斯函数。原因包括两点：函数无法进行微分求解和初始点难以选取。

​ （4.2）此处改为ceres对y=eax2+b$y=e^{a{x}^2+b}$函数进行曲线拟合，其中 a=0.3,b=0.1$a=0.3,b=0.1$ 。该函数图如下所示：

​ （4.3）可以采用三种方法对问题进行求解，即：在进行Problem构建时，采用AutoDiffCostFunction或NumericDiffCostFunction进行数值微分求解；当无法使用模板来创建costfunctor时，继承SizedCostFunction类来实现Problem。

1.3 单像空间后方交会问题

（1）共线方程

⎧⎩⎨⎪⎪x−x0=−fa1(X−Xs)+b1(Y−Ys)+c1(Z−Zs)a3(X−Xs)+b3(Y−Ys)+c3(Z−Zs),y−y0=−fa2(X−Xs)+b2(Y−Ys)+c2(Z−Zs)a3(X−Xs)+b3(Y−Ys)+c3(Z−Zs)(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{}x-x_0=-f\frac{a_1(X-X_s)+b_1(Y-Y_s)+c_1(Z-Z_s)}{a_3(X-X_s)+b_3(Y-Y_s)+c_3(Z-Z_s)},& \\ y-y_0=-f\frac{a_2(X-X_s)+b_2(Y-Y_s)+c_2(Z-Z_s)}{a_3(X-X_s)+b_3(Y-Y_s)+c_3(Z-Z_s)}\end{array}\end{array}\end{array}$$

​ 其中x0,y0,f$x_0,y_0,f$已知，abc$abc$为旋转矩阵，可以利用ϕ,ω,κ$\varphi ,\omega ,\kappa$表示如下：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a1=cosϕcosκ−sinϕsinωsinκ,a2=−cosϕsinκ−sinϕsinωcosκ,a3=−sinϕcosω,b1=cosωsinκ,b2=cosωcosκ,b3=−sinω,c1=sinϕcosκ+cosϕsinωsinκ,c2=−sinϕsinκ+cosϕsinωcosκ,c3=cosϕcosω(4)$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}\{\begin{array}{}{a}_1=cos\varphi cos\kappa -sin\varphi sin\omega sin\kappa ,& \\ a_2=-cos\varphi sin\kappa -sin\varphi sin\omega cos\kappa ,& \\ a_3=-sin\varphi cos\omega ,& \\ b_1=cos\omega sin\kappa ,& \\ b_2=cos\omega cos\kappa ,& \\ b_3=-sin\omega ,& \\ c_1=sin\varphi cos\kappa +cos\varphi sin\omega sin\kappa ,& \\ c_2=-sin\varphi sin\kappa +cos\varphi sin\omega cos\kappa ,& \\ c_3=cos\varphi cos\omega \end{array}\end{array}\end{array}$$

（2）步骤

​ （2.1）读入数据，格式为(x,y,X,Y,Z)$(x,y,X,Y,Z)$ 。前2维像素坐标—单位mm$mm$ ，后三维代像坐标—单位m$m$ 。

​ （2.2）编写CostFunction结构体。

​ （2.3）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（3）运行结果

1.4 Powell’s Quartic Function

（1）数学表达式

f(X)=(x1+10x2)2+5(x3−x4)2+(x2−2x3)4+10(x1−x4)4(5)$$\begin{array}{}\text{(5)}& f(X)={\left(x_1+10x_2\right)}^2+5{\left(x_3-x_4\right)}^2+{\left(x_2-2x_3\right)}^4+10{\left(x_1-x_4\right)}^4\end{array}$$

​ 其中：

​ ∙−10≤xi≤10,i=1,2,3,4$\bullet -10\le x_i\le 10,i=1,2,3,4$

​ ∙fmin(X∗)=0$\bullet f_{min}(X^{\ast })=0$

​ ∙x∗i=0$\bullet x_i^{\ast }=0$

（2）Powell’s Quartic Function分解

f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)F(x)=x1+10x2=5‾√(x3−x4)=(x2−2x3)2=10‾‾‾√(x1−x4)2=[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)](6)$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{f}_1(x)& =x_1+10x_2\\ f_2(x)& =\sqrt{5}(x_3-x_4)\\ f_3(x)& =(x_2-2x_3{)}^2\\ f_4(x)& =\sqrt{10}(x_1-x_4{)}^2\\ F(x)& =[f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x)]\end{array}\end{array}$$

（3）最优化问题数学描述

argminx12‖F(x)‖2(7)$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\arg min}_x\frac{1}{2}\Vert F(x){\Vert }^2\end{array}$$

（4）步骤

​ （4.1）编写CostFunction结构体。

​ （4.2）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（5）运行结果

1.5 Bundle Adjustment

（1）BA数据集

​ Bundle Adjustment in the Large

​ 备注：此处使用Ladybug Dataset：problem-49-7776-pre.txt.bz2

（2）BA问题

​ ceres solver学习之bundle adjustment

（3）步骤

​ （3.1）读取problem-49-7776-pre.txt.bz2数据。

​ （3.2）编写CostFunction结构体。

​ （3.3）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（4）运行结果